1樓：于佳銘
是個好問題，知乎之前竟然沒有人問過這個嗎？
首先，我們可以明確一點：當所考慮的論域是有限的，且所有的論域中的元素都被命名為某個常量（即，我們可以去直接地引用它），那麼任何乙個一階邏輯的語句，都可以用題目中所描述的方式，轉變為乙個等價的命題邏輯的句子。這點比較顯然：
我們可以用連續合取來展開乙個全稱語句，用連續析取來展開乙個存在語句。我們得到的式子也將是有限長的。在這種情況下，命題邏輯所能表達的式子恰好是所有一階邏輯能夠表達的式子，即兩者的表達能力（Expressive Power）是等同的，我們根據題目，可以視這種情況為「兩種邏輯是等價的」。
在記法上，我們可以作如下規定：
如果 是用集合 作指標集的式子的集合，即 ，那麼我們可以將 寫成 。
如果 是乙個以序數 為指標的變元的集合，即 ，那麼我們可以將 寫成 。
當然，我給出的定義省略了一些細節，不過不難看到，無窮邏輯的表達能力是高於其有限的。回到題主的問題，我們顯然可以對乙個可數論域的全稱語句進行展開，得到零階無窮邏輯中的一句無窮合取。而由於我們定義無窮邏輯時，使用的是更廣義的無窮基數，我們甚至可以允許將例如 這樣的論域不可數的句子展開為乙個無窮合取的式子。
所以，問題解決了？題主的問題確實解決了，不過既然無窮邏輯這麼好用這麼強大，為什麼邏輯學家並沒有將其作為主流使用的邏輯語言呢？這就回到我們之前所提到過的無窮邏輯所包含的一些弊端。
具體地說，任何無窮邏輯都不是緊緻的（Compact），而絕大多數無窮邏輯（除外）甚至也不是完備的（Complete）。
我們先來看為什麼無窮邏輯不是緊緻的。簡而言之，無窮邏輯可以用來表徵[6]良序這一事實就蘊含了其非緊致性。我們首先引入緊緻性的定義：
定義 2.對於乙個語言 ，我們稱其是緊緻的，如果：任何乙個 中的句子的（可能無限大的）集合 是可滿足的（Satisfiable，即擁有乙個模型）當且僅當它的任意有限子集 是可滿足的。
這句句子在任何乙個有限論域內都不能為真，但是在任何乙個無限論域內都為真。我們因此得出無窮邏輯是不緊緻的。
2樓：Jackson-IT
一階邏輯包含命題演算和謂詞演算兩部分，在一階邏輯中，最重要的是關於量詞的刻畫和研究，所以一階邏輯也叫量詞邏輯，命題邏輯無法刻畫量詞，謂詞邏輯能分析命題的基本結構（個體詞、謂詞與量詞之間的關係），能夠刻畫量詞，所以一階邏輯也叫謂詞邏輯，所以一階邏輯和命題邏輯不等價。
3樓：李三畏
語法系統級的等價，的確不好定義。
若僅從量詞使用與否上看，零階邏輯公式與一階邏輯公式是可以轉換的：https://
zhuanlan /p/431755299
數學，邏輯，為什麼原命題和逆否命題等價？
Gusttavo Chan 因為以下公理在古典邏輯下正反均可證。有基礎的童鞋可能感覺到了，逆方向的證明是需要雙重否定消去 RAA 的，所以這個公理在直覺主義邏輯和最小邏輯下是只有正方向成立的，不等價。 Chen George 要看你用的是哪家的公理系統。在 Whitehead Russell 的 P...
一階邏輯和高階邏輯的區別，能不能具象一點說明？
雲兒 高階謂詞是接受其他謂詞作為引數的謂詞。一般的，階為 n 的高階謂詞接受乙個或多個 n 1 階的謂詞作為引數，這裡的 n 1。對高階函式類似的評述也成立。1應用高階邏輯在數學中，高階邏輯在很多方面有別於一階邏輯。其一是變數型別出現在量化中 粗略的說，一階邏輯中禁止量化謂詞。允許這麼做的系統請參見...
這個一階邏輯中的菱形交換圖引理如何證明？
T 不一致，則必然有它的乙個有限子集T 不一致。把T 裡關於M的表述合取起來叫 關於N的表述合取起來叫 C是M和N的公共子結構，所以M和N肯定都滿足僅涉及C裡面變數的那些公式。裡面的變數有來自e C 的和來自M e C 的，的變數有來自f C 和來自N f C 的，這裡分別用x1和x2表示。因為T有...