1樓：Locietta
是 上的距離
簡單情況找思路
這個問題在導數存在的條件下是很簡單的:
(1)若不然，存在 使得 ,
由中值定理有
由嚴格上凸知導數嚴格遞減，從而 \xi, f'(t) < f'(\xi) \leqslant 0" eeimg="1"/>
再由中值定理 t, f(x) = f(t)+f'(\xi_t)(x-t) < f(t)+f'(t)(x-t)" eeimg="1"/>，右邊在 充分大時為負，與 非負矛盾，從而只有 嚴格遞增
(2)容易驗證距離函式的正定性和對稱性，故只需證明三角不等式
注意 是嚴格遞增的，所以只要證
把欲證轉述如下:
嚴格上凸,
證明:
↑這就是個簡單的極值點偏移高考題，簡單證明如下
證.構造
當 時，由 嚴格遞減有
從而 單調遞增(由中值定理保證)
這即 證畢.
簡單的推廣
一般地，嚴格上凸函式只保證左右導數 都存在且嚴格遞減，並且滿足 f'_-(x_2)" eeimg="1"/>
注意到在左右導數存在的情況下，我們有費馬引理
為 的極值點
我們可以改造中值定理:
(1)(2) 在開區間 上存在左右導數
則存在 使得
用這個新的"中值定理"和左右導數替換前面的中值定理和導數就完成了一般的證明.
如何替換留作思考(
（不過大概看的都懂，不懂的也不會看，就當自娛自樂了
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