1樓：
Latin Hypercube 不行麼。。真正的土法。。舍取法什麼都太洋氣了。。
不在球裡的hypercube 模擬幾次之後就可以丟掉了剩下全是在球裡的hypercube。。
缺點可能還是計算量大吧。。
2樓：王贇 Maigo
本答案探索三種演算法，其中只有一種可行，但我意在展示探索的思路。
首先，題目中的矩陣 應滿足對稱、正定的條件。
在此條件下， 可以進行 Cholesky 分解得到 ，
於是 就可以變形為 。
這樣，只要能生成 n 維單位球內均勻分布的隨機向量 ，
就可以通過 得到橢球內均勻分布的隨機向量 了。
下面探索生成 n 維單位球內均勻分布的隨機向量 的演算法。
最簡單的思路就是逐維生成 的各維分量 。
為此，需要知道 的邊緣分布，以及各個 在已知 後的條件邊緣分布。
容易得出，在 n 維空間中， 的邊緣分布的密度函式為：
若能對此密度函式做積分得到累積密度 ，
就可以先生成乙個 [0,1] 上均勻分布的隨機變數 ，
再通過變換 得到 了。
然而，這個累積分布的形式比較複雜，無法實用。
第一種方法失敗。
第二種方法，是分別生成 的模 和方位向量 ，然後組合得到 。
在 n 維空間中， 的分布的密度函式為：
累積密度
於是，先生成乙個 [0,1] 上均勻分布的隨機變數 ，則可通過 得到 的模。
而方位向量 可以通過把乙個服從 n 維標準正態分佈的隨機向量 進行歸一化得到。
生成服從標準正態分佈的隨機向量，可以使用 Box-Muller 演算法。
這就是本題的標準答案了。
另外一種「土演算法」是 rejection sampling，即在立方體 中均勻取樣，然後把所有落在單位球外的樣本篩掉。
但在高維情形下，這個立方體是很「空」的，即單位球在其中的體積佔比很小，取樣效率會很低。
不過，如果允許演算法有一定的近似性，是可以把立方體適當縮小的，縮小後的立方體仍可覆蓋單位球的絕大部分體積。
如下圖所示，在 64 維情況下，哪怕把立方體的邊長縮小一半（從 2 縮小到 1），單位球的絕大多數體積仍在立方體內。把立方體的邊長從 2 縮小到 0.7，也可以保證 80% 左右的覆蓋率。
把立方體縮小後，rejection sampling 就可行了嗎？
邊長為 1 的立方體體積為 1；
這些都仍比單位球的體積大了許多數量級。
以邊長為 0.7 的立方體為例，在其中採集 30 多億個樣本，才有乙個落在單位球裡的。
而此時立方體的覆蓋率只有 80% 左右，演算法的近似性已經很明顯了。
所以結論是，rejection sampling 在高維情況下完全不可行。
3樓：
我的想法是使用Gibbs Sampling來完成抽樣過程。Gibbs Sampling每次都是從一維分布中抽樣，這個一維分布就是以其他所有引數為條件的條件分布，即
這應該是乙個均勻分布(如果我沒想錯的話)，也就是橢球被限定了 個維度後截下的線段，解乙個一元二次方程就能確定均勻分布的範圍。那麼此時使用Gibbs Sampling就很自然了。
Gibbs.ellipse <- function(n, M)
return(samples)
}set.seed(42)
M <- matrix(c(0.25,0.1,0.1,1),nrow=2)
samples <- Gibbs.ellipse(10000, M)
plot(x=samples[,1],y=samples[,2],pch=20)
PS: 補充 @王贇 Maigo 兄的答案中，給出乙個從
的取樣方案，使用的是importance resampling的思想。曲線為真實密度，直方圖為取樣結果
plot <- function(dims) )
norm.factor = integrate(f, -1, 1)$value
g = Vectorize(function(x))
curve(g, -1, 1)
}SIR.sampler <- function(n, dims)
dims <- 20
plot(dims)
samples <- SIR.sampler(100000, dims)
hist(samples, breaks=30, prob=T, add=T)
但感覺剩下的一系列後驗分布才是難點
4樓：
hint，橢球和球之間差乙個仿射變換。
至於高維球上的sampling，因為球的體積與cover他的正方體的體積的比是指數衰減的，rejection sampling 的效率也是指數衰減的…
可以考慮另外的方法。因為空間中的點由球面上的位置theta，已經徑向距離r決定。可以用多維高斯分布模擬出theta.
r的分布的概率密度～r^（d-1），也是容易模擬sample出來的。
Unity 用C 如何在球體表面生成均勻分布的座標點！求演算法！？
對於分布 那麼分布 在 單位球面上均勻分布.對於 用 每次取樣三個數 那麼 在 的球面 上是均勻分布的.用Box Muller取樣方法 整個演算法時間複雜度是線性的 玩兒的就是心跳歸來 不知道題主所說的均勻分布的點是什麼意思？是按照均勻分布隨機取乙個點還是找到一堆點均勻的落在球面上 類似Quasi ...
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呵呵噠 其實，數值計算也是可以擬合的嘛，你寫乙個擬合程式，numpy裡也有。如果全段擬合不好就分段，然後再求分段函式的導數。直接取樣計算間隔太小計算量一定很大，所以採用擬合近似吧。 章佳傑 用 numpy 的 histogram 函式試試import numpy asnp from matplotl...