1樓：拉格朗日
（非數學專業強答）
前面有答主提到等距嵌入，我來展開一下。題主的要求，是尋找這樣乙個等距嵌入（isometric embedding）: ，其中 是裝備了度規 的二維光滑流形：
而 取三維歐式度規： ，以及 是同胚且誘導切空間的的單射；最後等距是要求 在 的拉回下與 相等，寫作 ，具體表現為
其中 下標表示一階偏導數。在已知 的前提下，這是乙個關於對映 的微分方程，解出符合條件的 即找到了等距嵌入。對於題主給出的例子 ，由於度規只給出了區域性資訊，所以只知道它可以區域性嵌入到平面或者圓柱面、圓錐面等等，為得到具體結果需要加上 的取值範圍。
值得注意的是等距嵌入不一定能被找到，在不要求等距的前提下Whitney Theorem指出m維流形總可以嵌入到2m維流形（當然還有一系列條件）；Nash Theorem指出m維流形至少可以 光滑地等距嵌入到2m歐式空間。
即使可以等距嵌入到 ，方法也不是唯一的；首先在 中可以再做一步包括 、反射和平移在內的保距變換，依然保持嵌入的等距；其次區域性等距的曲面很多，例如前面提到的平面、圓柱面與圓錐面，又例如懸鏈面（catenoid）與螺旋麵（helicoid），可以驗證二者度規相同:
可以證明二維不可定向曲面無法嵌入到 ，例如典型的虧格為2的不可定向閉曲面 （克萊因瓶），但是可以通過如下對映嵌入到 ：
2樓：cvgmt
相當於如何把二維曲面等距嵌入三維歐式空間中，很困難的問題。
而且還不一定都能嵌入。只能保證一定能等距嵌入到足夠高維的歐式空間去。例如鼎鼎大名的 Nash 嵌入定理。
3樓：小咖啡
你說的三維解析式，指的是他在三維空間中的描述方程嗎
不好意思，他的方程是沒法通過度規就完全確定下來的
原因很簡單，黎曼幾何中度規張量，所謂「度規」，即「度量規則」，是空間本身的內稟性質
度規規定的是空間中兩點之間「距離」如何度量，這裡打引號，此「距離」為廣義的「距離」
即該適配該度規的座標系下，兩點間短程線（測地線）的長度
而你問如何知道二維曲面的度規後，推出該曲面在三維空間中的方程
我們只能利用度規，求出其各點的黎曼曲率，黎曼曲率是度規的二階偏微分組合函式，也就是可以知道該曲面的整體形態，是平面、雙曲面還是球面……
但該曲面，在三維空間如何放置，你是不可能通過度規這一內稟性質得出的
舉個最簡單例子，乙個平面，在三維空間中旋轉或者平移，在其上建立同一種座標系，度規是不變的，但該面由於旋轉或平移，在三維空間中方程肯定會變
對於一維空間和二維空間以及多維度空間應該如何理解？
竊拉瓦戈 我覺得人類只能理解三維空間。一維，二維的空間正常邏輯就不可能想象不出來。舉個例子，二維空間的物體，有長度，有寬度，沒有高度 厚度 換句話說高度不存在。你在現實生活中能想象乙個高度 厚度 不存在的東西麼？高度厚度不存在但是有長度寬度。從這個角度來說，二維世界我們看都看不到。因為對於物質來說來...
黑洞是二維的嗎？
自學生 在我的認識裡整體是一維，半體是二維，正和反的固定和運動，內面和外面，力量和速度，高溫和低溫，等等，都是正和反的三維共同體。 譚少雄 黑洞的視界是乙個球面，除此之外，並無特別 之處，我們雖對視界內的物質無法了解，其物質性和強大引力是不能否認的事實，更不可能是二維的。 微方齋 這個想法很新奇，但...
python numpy 在二維array中以一行作為乙個整體，快速查詢一維array？
first nonzero element Trac 1673 Issue 2269 numpy numpy 2.0可能會有find。目前估計自己實現 import numpy asnp deffind data,x start None end None find x in data endp e...