1樓：cvgmt
對定義在 n 維空間上的函式，在乙個固定點 x 沿著 u 方向的變化率，這個就是方向導數。
首先，從 x 出發往 u 方向前進，我們可以把 u 看成速度向量，假定用了 a 那麼長的時間，走到 x+a u 那個新的點，f 在這兩個點函式值的差異就是
f(x+a u)-f(x)
因為要算變化率，因此還要除以時間 a ，最後時間趨向 0，就表達了 f 沿著 u 這個速度方向的變化率。
2樓：東雲正樹
你這也沒給出上下文,我就猜吧:
看樣子是乙個多元函式,本身是個數而不是向量.
其中 ,
為何在 處取得導數?
因為你要算的導數就是在 處的導數啊.
就是沿著 這個方向 的變化率在 這個點的值.
從一元函式的導數很好理解吧
你看極限的條件是什麼?是不是 ?
按照你這裡的寫法就是
無非就是把 表示成了
因為多元函式需要描述增量的方向所以你那個寫法更加簡便實際上這樣寫也是可以的
但是極限符號下趨於零的就是
寫起來比較麻煩.
至於文中最後一句話,順帶一提那個是計算方向導數的公式:
其實這裡我感覺也是符號設計的不太好...
3樓：
首先你得先明白什麼是方向導數。
（因為我看是人工智慧類的數學問題，那我就用盡量通俗易懂的方式去講。）方向導數，顧名思義，是在過某點的一條特定直線上去考察的。換句話說，在定義某點的導數的時候，我們要求以這個點為球心的開球內函式有定義，同理，在定義方向導數時是在乙個把定義域限制到一條過這個點的直線上，然後考慮這個直線上的乙個開球內有定義。
在這個情況下，問題就變成了和單變數函式一樣的情況，我們可以用最原始的定義，即x趨向於x0，也可以用等價形式，deltax趨向於0。這裡的alpha趨向於0就是deltax趨向於0。
在流形上引入度量後，流形上的函式的方向導數的定義，為什麼不以兩點間的黎曼距離取代歐氏距離？
這裡並沒有出現Riemann流形。然後關於在p點關於切向量X的方向導數，可以任意找一條曲線s使得s 0 p,使得這條曲線對應到這個切向量 這個對應取決於你如何定義切向量，陳這本定義成曲線的等價類，這個對應是直接的 這樣任意連續函式f通過復合f circ s就成為乙個R到R的光滑對映，這個在0處的導數...
為什麼這個函式在0點的高階導數為零？
劍拔青雲 這個函式 在 處分段，所以求 處的導數時只能用定義法求導，實際上對於任意的分段函式在分段點處求導都只能用定義法求導，而不能隨便套公式，因為分段函式普遍都不是初等函式，但求導公式則是初等函式的求導公式。因此 雖然很容易利用函式影象看出這些極限都為0。H1的函式影象 H2的函式影象 H3的函式...
為什麼函式的各偏導數存在，只能形式上寫出全微分，但它不一定是函式的全微分？
黎曼可不積 某點處全微分存在說明至少該點任意方向方向導數存在，而偏導存在等價於有限的幾個方向導數存在。比如乙個函式在座標軸上取零，那麼在原點偏導都等於零，但是其它非座標軸上的點的值可以任意變化，導致其它方向導數不存在，甚至函式在該點不連續，從而在原點沒有全微分。 alphacalculus 設函式 ...