有哪些悖論是和無窮有關的？

1樓：hxl268

產生邏輯悖論例如芝諾悖論是因主觀認識與客觀實際不符，此悖論說明數學不能從數的高度上來定量描述運動。原因是數學對數的認識有重大錯誤與缺陷而不知兩點之間的距離函式p≥0的變域有最小正數元。

2樓：李鴻儀

羅素悖論並不存在。估計其他悖論也差不多，實際上都不存在或可以找出原因。.比如我這句話是謊話，其原因在於把真話和謊話這兩個矛盾的性質都指向我這句話，違反了矛盾律，產生悖論並不奇怪。

3樓：Ember Edison

第二次數學危機：

芝諾悖論。

0.9迴圈。其實就是芝諾悖論的嚴格化。揭示了標準分析和非標準分析的差異。

湯姆生燈悖論。涉及到無限序列極限的定義問題。

Ross–Littlewood 概率悖論。

伯特蘭悖論。

…………

其實無窮序列和概率混起來會出現的悖論就會特別多。雖然現代已經有嚴格的極限定義和測度理論可以解決以上悖論，但是對於不可數集合的概率仍沒有乙個好的說法。

第三次數學危機：

羅素悖論。如果你的理論可以展現一切集合的集合，那麼0=1（矛盾）是你的理論的內定理。限制概括公理模式才能解決這個悖論。

Girard 悖論。如果你的理論可以展現一切型別的型別，那麼0=1（矛盾）是你的理論的內定理。限制型別的適用範圍才能解決這個悖論

哥德爾第一不完備。任何包括乘法的理論都存在一句子不可證，除非0=1（矛盾）是你的理論的內定理。次協調邏輯可以解決這個悖論。

哥德爾第二不完備。任何關於含有乘法的理論之內不能見證這個理論沒有對0=1（矛盾）的見證，除非0=1（矛盾）是你的理論的內定理。次協調邏輯可以解決這個悖論。

塔斯基真不可定義。如果乙個有窮長度理論內存在乙個謂詞滿足我們對真的普遍共識（T-約定），那麼0=1是這個理論的內定理。次協調邏輯，模糊邏輯，概率邏輯，直覺邏輯可以解決這個悖論

Skolem 悖論。一切一階語言的句子的模型都可在外構造乙個初等等價的可數子模型，也即你可以將任意大基數模型在外構造乙個模型將其指認為可數的。

CAP定理。包含分割槽容錯性的分布式系統要麼不是停機的，要麼是不一致的。絕症，沒得治。

以上悖論的核心都是基於說謊者悖論。當然也可以利用Berry悖論組建這些不完備定理，可以避免使用不直觀的對角線法。

Chaitin不完備。揭示了任何遞迴理論可證明的自然數具有上界的事實。只能用Berry悖論組建。是哥德爾第一不完備的增強。絕症，沒得治。

最大基數悖論/康托爾悖論。如果你的理論可以展現一切基數的基數（被康托爾稱為「真無窮」），那麼0=1（矛盾）是你的理論的內定理。這個悖論在新基礎集合論（NF）中不成立。

最大序數悖論/布拉利-福爾蒂悖論。如果你的理論可以展現一切序數的序數（被康托爾稱為「真無窮」），那麼0=1（矛盾）是你的理論的內定理。這個悖論在新基礎集合論（NF）中不成立。

「第四次數學危機」：

分球悖論/巴拿赫-塔斯基悖論。乙個實心球可以分解和重新組合成兩個乃至於任意個大小和原來一樣的球。不是悖論，一般被視為佯謬。依賴於選擇公理AC。

Kunen不一致定理。不存在從V -> V的非平凡初等嵌入。V一般翻譯成馮·諾伊曼全集或者馮·諾伊曼集合論宇宙，但是我更喜歡終極數學宇宙或者柏拉圖宇宙這樣的翻譯，笑，也就是說這個悖論的意思是不存在從終極數學宇宙到終極數學宇宙的非平凡初等嵌入。

同樣依賴於選擇公理AC。

之所以他們被單列在此處，是因為他們和AC息息相關——而AC本身還未被完全確認為乙個確定無疑的公理。如果你接受選擇公理就要接受他們。而如果拒絕選擇公理就能獲得從V -> V的非平凡初等嵌入的話（當下還是乙個猜想），那麼將會是乙個很好的拒絕選擇公理的理由，然後引發非常嚴重的災難：

Ω-猜想不成立。

Ultimate-L不存在。

V=HOD不成立。

基於勒貝格測度的一系列理論可能全部不成立。這意味著為了克服第二次數學危機的重要努力的巨大挫折。