1樓：Chebysfei
補充樓上大佬的回答，泊松過程有一種比較簡潔的推導：
設 表示在時間區間 內事件發生的次數， 表示在時間區間 內有 次事件發生的概率，即 t_,n\geq0 \right)" eeimg="1"/>
根據泊松過程的定義：
（1）對於充分小的 ,在時間區間內有1個事件發生的概率與 無關，而與區間長度 成正比，即
（2）對於充分小的 ,在時間區間 內有兩次或以上的事件發生的概率極小，以至於可以忽略，即
取時間由0算起，簡記
易推得在 上沒有事件發生的概率
有1個發生的概率為
有2個及以上發生的概率為
設 內有n個發生的概率為 ,則 內有n個事件發生的概率 移一下項，令 , （1）
且有 （2）
時，有 （3）， （4）
然後解這組微分方程：
由（3）， , 兩邊積分， , 即
由（4）， ,
代入（1），令 , , 用常數變異法，
由（2）， ，
同理可得
2樓：「已登出」
我有乙個比較直觀的推導方法
指數分布的定義大概是在事件沒有發生的情況下，事件在下乙個 內發生的概率為
，那麼在下下個 內發生的概率，就是在下乙個 內不發生的概率再乘上即 同理，在下下下個 內發生的概率
下下下下個 內發生的概率
可以那麼一直寫下去。。。
所以，事件在t時刻後的乙個 內發生的概率就等於那個 就是說前面有 那麼多個 內事件都沒發生然後我們再根據概率密度函式的定義，可以寫出然後兩邊約掉 ，用那個長 這樣叫尤拉公式的式子轉換一下
3樓：Richard Xu
@張雨萌
(*)式中取t=0
f(s)=P(X>s)f(0)
即F'(s)=(1-F(s))K
其中K=f(0)
解這個微分方程即可
由於f(s)連續，F(s)一定可導
4樓：張雨萌
指數分布也可以定義為具有無記憶性的取值範圍為0到正無窮的連續分布。
假設乙個滿足上述條件的分布概率密度函式為.
那麼 0, P(X>t+s|X>t) = \int_^\infty f(r)dr\Big/ \int_t^\infty f(r)dr \equiv P(X>s)." eeimg="1"/>
即s) \int_^\infty f(r)dr \equiv 0, \forall s,t \ge 0" eeimg="1"/>.
等式兩邊邊對t求導，得到
s)f(t), \forall s,t\ge 0" eeimg="1"/>——————(*)
再對s求導，.
帶入得到
解這個常微分方程得到通解其中
--當然這個推導有乙個問題是為什麼可導。我覺得可以通過等式（*）的左右兩邊bootstrap出來。
5樓：王贇 Maigo
指數分布可以定義成泊松過程中相鄰兩次事件之間的時間間隔。
設乙個泊松過程的引數為，那麼在長度為的一段時間內，事件發生次數的分布為泊松分布：。這個推導過程很麻煩，略。
設相鄰兩次事件的間隔為，那麼 t" eeimg="1"/>的意思就是在時間內沒有發生事件，即。於是有t) = \mathrm^" eeimg="1"/>。
而的概率密度函式就是。
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