1樓：
設 是閉凸集， 是緊集，並且 。我們證明 。
定義投影函式 為 。這的確是乙個函式，因為假如有兩個點 使得 ，那麼 ，其中 為以 為心 為半徑的開球，但線段 是這個球的弦，與 是凸集矛盾。
下面，我們注意到 是乙個Lipschitz常數不大於1的函式。假設 d(x_1,x_2)" eeimg="1"/>，其中 。因為 是凸集，線段 ，所以由 的定義， 。
也就是說， 和 都是鈍角。如果垂直於線段 作兩個n-1維超平面，分別過 和 ，那麼 和線段 在第乙個超平面的不同側， 和線段 在第二個超平面的不同側，所以 不小於兩個超平面的距離，也就是 ，矛盾。
而且， 是 的滿射。首先，如果 ，那麼就可以找乙個小鄰域 ，再找乙個開線段 和 的交點 ，顯然有 ，與 的定義矛盾。下面，因為 是凸集，對每個 ，都可以找乙個過 的「支撐超平面」使得 的點都在這個超平面一側或者在超平面上。
垂直於這個超平面從 往另一側作一條射線 。因為 是緊集，存在 中離 最遠的點 。顯然 ，並且 ，因為如果 在超平面上那麼 不小於垂線段 的長度；如果 在超平面另一側， 更大。
這樣，對每個開球 ， 都包含乙個與 一樣大的開球。由Hausdorff測度的定義可直接得到 。
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