1樓：
正如一位答主所說，當命題P不能證偽，非P也不能證偽時。
比如說歐幾里得幾何的第五公設吧，如果假定存在一條，對於的是歐氏幾何，如果假定不存在或至少有兩條，那麼分別對應黎曼幾何與羅巴切夫斯基幾何。而三者都是正確的。因此，第五公設既不能被證明，也不能被否定。
2樓：dou4cc
如果能證明乙個命題不可證明或證偽，說明該命題未定義，這不是不完備定理所在。停機問題的證明就是在玩文字遊戲，它並未得出我們想要的結論，因為它的前提更強。
3樓：齊昱
這個，我有話說列位。
說哥德爾不完備定理的固然正確，沒錯，而且說的也真挺好。
但是咱也先讀讀人題主的問題描述再答啊！
人家壓根沒想問不完備定理這事兒，再說，這事兒在另乙個問題下的某位答主已經說的相當不錯了。
咱回到題主的問題描述上。題主是問吶，慣性定律是不是「不能證明」，或者說為什麼咱數學上不承認人家「慣性定律」是對的。
我假設題主是學物理的，或者說假設題主是因為物理上的原因而提問的。
要是聊這個問題，那就和哥德爾沒什麼關係了；這個問題的關鍵在定義和定律（definition and law)是怎麼區分的。
物理上，管這個慣性定律叫定律(law)。為什麼呢？你得分析。
前人得到這個結論，是大量的實驗做基礎的。大量實驗之下，這個定律都對，那「自然而然」這個定律就對。
可是到了數學上，完蛋了。數學上不可能承認乙個「沒有被理論證明」的東西作為「定律」。當然，數學上「定律」兩個字就更偏向「定理」這個意思。
咱是學數學的。咱不可能承認乙個從來沒被證明的東西是「定理」。咱可能管它
叫命題。或者叫「猜想」。
咱數學是很較真的。
它如果不是定理，你又想老用它，那就只有乙個辦法：把它變成公理。或者，把它變成定義。
換句話說，你只有把它變成乙個「體系的構架者「這個角色，你才能用它。不然，你給我證出來我才能用。
所以慣性定律這個東西，在數學上，更多的是被認為成乙個公認的」公理「。公理當然不能被證明。
接生的時候你觀察生出來這小孩兒，下面長著東西的叫男孩，反之叫女孩。這事兒能證麼？
你給我證乙個我看看？
所以這事兒叫公理，或者叫定義吧。
有人較真兒，說了，我管這個下面長著東西的叫女孩，反之叫男孩。
也行。就是跟我們普遍的不太一樣。你能推翻這個怪人麼？不能。因為定義就不一樣啊。
我的老師說過。
物理是把沒被證否的東西當真的。
數學是把沒被證明的東西當假的。
啥意思，物理上，只要符合實驗現象的定律，就是真的。直到有乙個實驗推翻了這個定律。
慣性定律沒被推翻過。（好像看這意思也不會被推翻了吧。）所以是真的。
數學上，慣性定律沒被證明過。所以它要麼是假的，要麼你把它加到定義裡。
最後說一句：題主，您這個問題問的，和這個描述太不一樣，因為我們學數學的，第一眼看這個問題都會想到哥德爾不完備定理，所以可能很少有人從您這問題描述來回答。
如果您真的是想問我答的這個事兒的話，那您這問題可能有點「想搞個大新聞結果搞砸了」的意思了。
就這麼多。
4樓：月下僧竅門
你也說了在乙個體系下，只要這個體系是相容的且蘊含peano，那麼肯定存在真命題，在這個體系下無法被證明。但是這個真命題有可能被另外乙個體系證明，不過你的前提是在乙個體系下。so，這就是答案了。
5樓：李旺
龜兔賽跑，烏龜對兔子說:「 我們假設一下。你離我有100公尺，你的速度是我的10倍。
現在你來追我了，但當你跑到我現在這個位置，也就是跑了100公尺的時候，我也已經又向前跑了10公尺。當你再追到這個位置的時候，我又向前跑了1公尺，你再追1公尺，我又跑了1/10公尺……總之，你只能無限地接近我，但你永遠也不能追上我。 」
6樓：派玄瑞
本人不搞數學，也不搞TCS，所以求專業人士別噴QAQ
根據哥德爾第一不完備性定理，不可證明也不可證偽的命題必然是存在的。最簡單的例子，比如說「該命題不可證明」這個命題在一階邏輯體系下就是不可證明的。與這個相似的另乙個問題，就是理論電腦科學裡的「停機問題」了。
簡而言之，停機問題就是「給定乙個程式和乙個輸入，求解該程式是否會停機」。所謂不停機，也就是我們所說的死迴圈了。圖靈機是無法判定停機問題的，其本質還是一階邏輯的不完備性。
7樓：
數學是建立在一些公理體系上面的 ，任何一條外部公里可以說他相容也就是加入進來的話和其他公理無矛盾，或者說它是矛盾的。
比如平行第五公設和其他四個無矛盾 ，你加進來就是歐幾里德幾何，否則就是幾何
公理本身是無法證偽的，你可以選擇不承認公理，但是無法證明偽。
而題主所說的乙個定理無法證偽，那說明定理所要的基礎不完全包含在證明所要的公理中，也就是說它本身不屬於這個公理體系。
比如我們就不能在不承認選擇公里或者它任何一條等價命題的基礎上說任何線性空間有基，這是不行的，因為沒有選擇公里無法構造乙個包含基的良序集合那麼就無法找到基。 既然群無法找到基那麼整個近世代數一大半就是謬論。19世紀有少數數學家雖然持對選擇公里懷疑的態度，但卻無法不因為其對代數學某些基礎性的命題的支援而感到不解。
在這個例子中，缺少選擇公里無法證明的理論就是 "任何線性空間都有基"
所以只能說這個"無法證明"的理論不包含在這個理論體系。但是它或許在另外乙個體系中是可以證明出來的。
8樓：
哥德爾不完備定理：
第一條任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題（即體系是不完備的）。第二條
任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，它就不能用於證明它本身的相容性。
9樓：Belleve
知道直覺邏輯麼？
直覺邏輯下，相繼式的含義是：可以從前提證明結論。
的含義則是：可以從前提證明結論。
因此，對於任意乙個前提包，除了那些能用 ND（或者 LJ）推導出的命題，其他都是「從理論上無法證明的」。至於不確定命題嘛，就是多了個否定也推不出來，僅此而已。
10樓：Yuhang Liu
「是否存在在乙個體系下無法被證明的問題，要想證明除非換乙個體系？」
答案是肯定的，請wiki :Goodstein's theorem , it is unprovable in Peano arithmetic (but it can be proven in stronger systems, such as second order arithmetic)
11樓：江歡
乙個系統如果有足夠的表達能力並且是一致的（其基本公理不會推出相矛盾的兩個結論），那它就會存在這樣的陳述（命題），這個陳述不能被系統推導（證明），其反面也不能被推導。這東西就是歌德爾不完全性定理的我的語言翻譯版…… 直覺地模擬，可以考慮人類語言中的悖論。當然人類語言不是嚴謹的理論系統，也沒有符號推導規則，但思想類似，你很有可能能在乙個系統中構造出乙個類似「悖論」的命題，這種命題不能被證明也不能被證偽。
如何構造就是整個證明過程了。中間有一系列的小技巧和輔助人腦理解的工具，比如對角線法和編碼。請查閱各種數理邏輯和計算理論教材……《歌德爾證明》是最適合的通俗的小薄書了。
《g.e.b》是我們程式設計師的裝b奇書之一，比較多隱喻比較晦澀，供你參考……
因此數學上存在題中說的這樣的體系，就是那些描述能力足夠強的…比如那些含有謂詞邏輯的（大概嚴格地說就是蘊含了皮亞諾算術公理體系的）…好吧我不是學數學的不知道形式化嚴格的表述，感性認識一下好了……
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