1樓：
在掌握一些基礎的數學之後，
首先要緊的是理解物理概念和實驗結果，理解你要解決的問題，然後要最簡單的數學工具來解釋物理概念，實驗結果和你要解決的問題。
我認為數學證明不是必須的，除非你的追求是數學
2樓：jRONI
這本書代數幾何都有了再加一本泛函分析
開玩笑的雖然這本書也的確很好
理論力學知識再紮實沒錯的同時還能學數學那就是阿諾德的經典力學的數學方法了
油管上有位Fredric Schuller的講座分物理幾何泛函分析量子力學講得很好基本覆蓋四大力學的數學
3樓：
褻吆。認真答一下好了，別嫌我囉嗦。
1，首先，一定在掌握好相關物理內容之後，再去結合自身興趣或需要補充相關的數學。
2，部分數學對於物理學概念的理解和應用是有直接幫助，甚至是必須的。所以這些內容最好完全掌握。例如：
對應於最小作用量原理的古典變分法；Lie群Lie代數的表示；線性代數中的基本概念；微分流形的基本概念等。
3，還有些數學並不是必須的。但對物理概念的理解和實際問題的處理會有一定的幫助。例如：
對於無窮維向量空間中運算元連續譜怎麼處理；運算元的定義域問題； 散射理論中運算元的存在性問題；正則變換為什麼需要保證 等。
4，最後，進一步學習四大力學背後的數學結構並不能幫助我們解決實際的物理問題。它只是理論上的重新構造或者嚴格化表述，並不能在物理上帶來任何新的東西。
（好的書和文章有很多，這裡只能列舉一些我自己感覺還不錯的）
Linear algebra done right。梁燦彬中冊附錄B。
主要應用：量子力學。
（理解向量空間，線性變換，不變子空間等基本概念，知道無窮維的情況相比有限維向量空間具體要注意什麼，處理無窮維的工具有哪些。）
梁燦彬下冊15章第一節。老大中變分法基礎1，2，5，7，9，10章。
主要應用：最小作用量原理。
（最小作用量原理的重要性無需多言，這部分內容無疑是要完全掌握的。無窮多自由度的情況下把多個一元函式換成乙個多元函式就好了。）
梁燦彬上冊前五章。陳省身微分幾何講義前五章。
主要應用：所有出現座標的地方。
（微分流形是價效比最高的了，因為物理中應用太廣了。有座標出現的地方就有流形，不過一般物理上我們會側重於區域性座標系下計算。所以，才會給人一種，我們僅僅在解方程的感覺。）
GTM267 16章。梁燦彬中冊附錄G。GTM235。
主要應用：所有有關對稱性的地方。
（這些基礎知識應該是必須要掌握的，這是墜重要的。）
量子力學：
Folland 3，4章。GTM267。
如果關注的只是物理的話，僅僅需要理解線性代數中的數學概念，以及無窮維中的注意事項，和重要定理就足夠了。部分人看量子力學沒感覺，完全是因為線性代數中基本概念掌握的不到位，根本不關泛函分析的事。
如果是對無窮維的細節感興趣，並且有一定泛函分析基礎的話，就直接看GTM267吧。讀起來很順暢的。
Haag第三章。
AQFT這已經屬於題目中描述的「背後數學結構」的範圍了，對物理概念的理解和解決實際問題沒有任何直接幫助。有興趣和時間，或者有需要的話再去看吧。
經典力學：
梁燦彬15章第三節。GTM60。Sternberg的辛幾何的講義。
經典力學中重要的是最小作用量原理，理解了它就能知道分析力學在幹什麼，而且在今後它也是要直接應用的。辛幾何在這裡僅僅是用幾何的語言去「重新表達」經典力學，完全屬於「背後的數學結構」。比如，正則變換在幾何語言中是「保辛結構微分同胚」。
一般物理上我們選定座標系後是「保哈密頓方程形式不變的座標變換」。
如果微分流形掌握的好的話這部分基本花不了什麼時間的，對物理概念的理解也有一定幫助，同時把哈密頓力學看做幾何上的乙個例子，對幾何概念的理解也會有一定幫助。但從物理需要上看，它並不是必須的，而且遠不如變分法重要。
統計物理：
吉田耕作第6章。孫文祥遍歷論。GTM259。
這也是題目中敘述的「背後數學結構」的範圍。一般的，物理上只要了解遍歷性假設+經典力學=經典統計，就OK了，在看下去就要跨界了。
電動力學：
梁燦彬上冊第6章。下冊15章第四節。
放在相對論裡的電動力學才算完整，這部分內容是應該完全掌握的。經典場的作用量就以乙個關於多元函式的積分性泛函，物理上用的還是很多的。
U(1)主叢上的聯絡。Batalin-Vilkovisky formalism。
同上，「背後的數學結構」。如果只關心物理問題，那麼，面對導體球，無論是把電磁場理解成 叢上的曲率，還是把電磁場理解成 到 的functor ，最後還是要回去解泊松方程的。正如一開始所說，它們不能在物理上帶來新的東西。
不過呢，這些本身也是很有趣的，單從物理上看，它也能讓我們從不同角度去重新審視我們熟悉的東西。
4樓：YorkYoung
首先不建議學習辛幾何，因為辛幾何所描述的哈密頓力學已經遠遠超出了物理上應用的需求，其根本不過是為了研究動力學系統的定性性質，如果不是力學或數學物理專業，實際上很難用得到。
由於這個原因，市面的的辛幾何教材非常少，而且一般的數學專業也並不熱衷於此，因此無論是自學還是蹭課，難度都非常大。
哈密頓力學學到最後，就是正則變換，以及為了找出完美的正則變換提出的哈密頓-雅可比方程，雖然這個PDE比原來的ODE還要難解，所以根本沒有解決任何問題。當然它還是給了我們「作用量居然還有這種魔力」的震撼。
我不知道題主學完分析力學後，有沒有想過乙個和我一樣的問題「哈密頓方程在不正則的變換下是什麼樣的？」。而這也就是我從微分幾何，高等代數等教材的零星篇幅中發現辛代數和辛幾何後找到的答案：
這個結論簡潔有力，配合上辛幾何中任何乙個區域性都有座標讓辛形式G取得正則方程中那樣的形式這樣乙個有力的定理，於是從這一高度看正則方程又不一樣了。
既然是辛幾何，它的前提辛代數和微分幾何都是必要的，在攻克這兩個大山後，把黎曼幾何中的度規g反對稱化，自然就得到辛幾何的基礎，當然能找到一本專門論述它的書籍還是很不錯的（可惜我沒找到）。
泛函分析難度並不小，首先它有一定拓撲學和測度論的前提要求，雖然要求不高，了解什麼是拓撲，什麼是測度，什麼是L空間還是必須的。
但這不是最坑爹的，最坑爹的是量子力學中需要的泛函分析知識，本科數學中的那種基本上只處理有界運算元的理論遠遠不夠，無界運算元的譜分解、自伴擴充套件、單參運算元群、散射運算元的存在性、泛函測度等理論才是重要的，這些知識無一例外都是研究生級的。而且你不能跳過本科生級的基礎知識Banach空間、Hilbert空間、有界運算元、有界線性泛函、運算元的譜等去直接學。
所以想學習泛函分析來了解量子力學的數學基礎，及其嚴格化是一件非常得不償失的事情，雖然我自認為學了不後悔，然而這些東西說實話，對科研沒有任何意義，就是純粹的乙個美學上的欣賞而已。到了做物理的時候，我們還是得用醜而簡單的東西而不是美而複雜的東西。
至於李群和李代數，你大可不必擔心，這都是理論物理專業研究生的必修課，當然適當找一些數學讀物，了解一些指數對映、嘉當度規、鄧金圖這些東西也是不錯的。李群就是群加微分流形嘛，當然你微分幾何的基礎還是要的。
這裡多次提到微分幾何，這個到底重不重要呢？我個人認為，沒學微分幾何，處理張量、場、廣義相對論等東西是完全夠的，但是容易思路混亂，畢竟「張量就是像張量那樣變換的東西」這種理念非常容易讓人暈頭轉向。
乙個最好的例子就是論證克氏符不是張量（的分量），從變換率的角度看，讓人有點受不了，你非得不停地強調，而且還把它寫得像個張量似的，非常容易搞糊塗。而梁燦彬書中為數不多的黑點，也出在克氏符上，非得定義乙個很醜的「偏導數算符」，然後做差搞出乙個克氏張量，然後花了很多篇幅論證它與一般書籍中的理論並不矛盾。而稍微學過一點微分幾何的人都知道，克氏符就是聯絡的分量，聯絡一開始就不是張量，所以自然不能指望它的分量滿足張量分量的變換率，這麼理解不是愉快許多，而且與一般物理書還不矛盾。
這裡我強烈建議各位掉入物理大坑的學子學習微分幾何的一些基礎知識，因為它雖然可能會讓你痛苦一下，但痛苦後，為你整理思路的收益是非常大的，於是你學習其他很多東西都能事半功倍。
最後不太建議學習纖維叢，因為纖維叢和規範場的關係雖然的確非常緊密，但物理感興趣的不是規範場是怎麼來的，而是它給出的力有什麼性質，這裡的問題纖維叢完全幫不上忙。
5樓：
物理學背後涉及豐富的數學，無論是一般理論還是特定問題。
一般來說本科物理專業的系統數學教育是足夠的。如果想進一步學習，建議系統的學習數學本科、研究生的五到八門左右專業課。這是乙個很好的投資。反過來學數學的人對物理感興趣也是一樣的。
乙個很重要的誤區是僅學習需要的數學知識點。
另外乙個重要誤區是僅僅專攻乙個方向。
還有乙個誤區是把數學物理當成數學（過分崇拜抽象物理理論）。
每個人的時間、精力是有限的。掌握本專業所教的知識對大多數人來說是最優解。但每個人的情況不同，可以根據自身興趣深造。
6樓：jerry tom
可以看給數學家寫的物理書，比如有些物理書是屬於GTM系列的。也可以在找書的時候直接搜尋... for mathematians.
另外，我看書時有乙個感覺，看這類書跟著書學分析(比如泛函分析)這一塊還可以，但幾何方面因為書涉及的篇幅也有限可能學了會有一定誤導，建議還是直接看有關的數學書。
分析力學背後的數學是比較深刻的，但不需要著急，也著急不來。需要對微分幾何有深刻的理解以後，學一點辛幾何才能看到。雖然最後的框架可能看上去比較簡單，但中間學習的過程不可少。
而且即使不知道這些也沒事，很多人強調學分析力學和學量子力學的關係，但事實上量子力學的數學基礎跟這個分析力學沒有關係，不影響學習量子力學。真正有關係的是「量子化」這個技術，即如何對乙個經典系統(在乙個辛流形上面)找到對應的量子理論的希爾伯特空間。
7樓：張智浩
下面的大段廢話沒啥具體用處，只是一開始寫了捨不得刪。可以直接看最後一段的正面回答。
我下面說的東西只是「按照我的經驗，我覺得四大力學至少會跟這些數學有點關係，你要是感興趣可以找相關的數學書來看兩眼」的性質，也只能說一些很基礎的東西，因為深了我也不懂。。這些東西都只是知道了之後能夠更容易理解課堂所講的內容，也是我個人（盲目地）學習的經驗（所以可能沒什麼用），至於「深入學習」它們「背後的數學結構」可能是我以後會想要做的事情，現在是無能為力。。
雖然「分析力學背後」是辛幾何，但是在我看來只是用了這個框架來更好地描述這個理論，把大家先前說的話仔細認真地說了一遍，但這已經很不容易了。。我看 Arnold 的書大概是這個感覺，或者你也可以看看 Abraham-Marsden 的書，內容似乎要多一些？我沒有看過多少。
我感覺再往下發展是進入了哈密頓動力系統的領域，至於辛幾何我是完全不懂的了。。認真來說我覺得更重要的是把處理 Lagrange 力學系統的想法發展到經典場論上，大概就是用 jet bundle 來替代原先的切叢餘切叢做一些事情，但是我只是嘗試考慮過但是不太懂，看一些書說過但是沒什麼感覺，只好擱置下來。。
說電動力學課是數理方程習題課我感覺是沒有問題的。。硬要說我覺得就是 pde 的問題了，一些典型方程的解和解的性質，廣義函式在 pde 中的應用？pde 完全不會，我就不說了。
微分幾何的一些知識也是有用的，主要是微分形式和它的積分、Stokes 定理、de Rham 上同調，但是不會似乎也完全不影響。。不過我覺得更重要的應該是電磁相互作用的（經典）規範理論，也就是用纖維叢語言重述經典電磁場的部分，雖然上課根本不會講這些，至多是抬乙個「規範變換」的名字來嚇人。。
量子力學所涉及到的泛函分析我以為主要是在希爾伯特空間及其上運算元的譜定理部分，因為散射啊運算元微擾那些我都不會了，看過一點點但沒什麼感覺。。李群李代數主要是指的李群的酉表示和李代數的表示，我覺得主要是李群的酉表示部分，而李代數表示只是個輔助作用，比如考察角動量的時候如果不知道怎麼求 或者 的酉表示就去看 的表示啦，復化成 就是李代數表示最簡單的問題。。講李群的酉表示應當參考調和分析的書，但是主要涉及到的幾個群是：
Abel 群 或者 、 、 或者 ；緊李群，代表是 和 ；然後還有 Heisenberg 群這種非緊非交換的例外。不過又要說的是，我們其實是考慮乙個群的射影酉表示，因為這個希爾伯特空間並不是真正的相空間而應該是它的射影空間，這又會把群上同調扯進來，考慮什麼時候射影酉表示是由某個酉表示誘導的。。當然了，量子力學所涉及到的數學完全不止這些，比如幾何相的部分，我以為不懂向量叢和聯絡不足以理解；再比如量子邏輯或者幾何量子化的部分，我以為這些其實已經跟物理也沒多大關係了。
你可以看那些名為「量子力學中的數學」之類的書，裡面還會有大量的專題形式的東西，什麼相干態什麼 變換之類的，不過我都不懂。。
統計應該是我所最不懂的一門。熱力學的部分我只知道一點 Caratheodory 的理論，某些講流形的書也會講到，但是說得不好聽我覺得意義不大。。經典的 Boltzmann 統計知道一點概率論倒是有用的，比如說當時看到《資訊理論基礎》那個書上第三章的「漸進均分性」，我記得當時上課做了一下，如果是從乙個概率分布的熵和能量出發可以用那個倒著把等概率假設推出來。。
不過我覺得這些都是「奇技淫巧」了，我以為統計的精髓是在系綜上面的。經典系統的系綜倒是可以用經典力學給乙個說法，但是真正做起事情了就毫無用處；如果涉及到全同粒子我就完全不會了。說了這麼多話意思就乙個，我完全不懂統計。。
場論我也不懂，就一點也不說了。跟場論有關的數學應該是個很大的題目，包羅永珍，我覺得你應該問前沿的專家。或者你找一本《Mirror Symmetry》來看吧，這應該是正統道路之一。
說了這麼多廢話，我現在來認真回答：找個老師來帶你，如果對數學感興趣就找個偏數學的做數學物理的老師，如果對物理感興趣就找個偏物理的做數學物理的老師。這兩個數學物理好像做的事情完全不一樣；在我看來很多做理論物理的老師其實數學沒有很好，應該達不到你的要求，所以應該先搞清楚，方向是「數學物理」的應該優先考慮，因為還有很多做計算的也宣稱自己是做理論的。
我以為找個好的老師應該是「深入學習」的必要條件之一。我上面說的這種事情完全可以問你的老師（如果你找到了的話），至少他/她有比我更多的知識和更豐富的經驗，也了解更前沿的資訊，能說出來的東西也更多，不是我這種普通大學生能比的。
四大力學什麼給你印象最深？
Carl叉叉 本渣渣from武漢某職業技術學院，所以大佬們輕拍。慫.jpg 挖墳分割線 1.並沒有系統學過的理論力學 最小作用量原理 看完費曼大佬的講義之後前來水一波 真理！就是真理！P.S.對物理和數學的興趣就是被初中老師一句話激起來的，去自學微積分，只要會了積分，高中所有的物理公式乙個積分就出來...
四大力學之間有什麼聯絡？
理論力學與牛頓力學等價，它提出來兩種全新的處理方法，即拉格朗日力學以及哈密頓力學，這些是現代物理研究的基礎。量子力學在Heisenberg picture下可以推出一些模擬於理論力學的結論 把對易子換成i hbar倍的泊松括號，可以得到哈密頓正則方程以及Liouville定理的形式 統計物理裡面配分...
學四大力學需要準備什麼數學基礎！！！
分析力學 理論力學 這個是數學分析和線性代數，尤其是前面的Lagrange力學和Hamilton力學的推演，以及廣義座標理論基礎是自變數微分之間的線性相關性，那麼多元函式微分學就成為了必不可少的內容。物理教材方面推薦梁崑淼 鞠國興的 理論力學 數學教材是張筑生的 數學分析新講 電動力學，這個主要就是...