1樓：葉某人
我從空間的角度說下
首先證明sinc函式是空間的一組orthogonal basis:
設, 其中為取樣時間
= \\ = \int sinc(t-n)\ sinc(m-t) dt \\ = \int sinc(\boldsymbol)\ sinc((m-n)-\boldsymbol) d\boldsymbol\\ = (sinc *sinc)(m-n)" eeimg="1"/>
上式的卷積進行Fourier逆變換後可得 = T_s" eeimg="1"/>, only 其他取值下都為 0. 由此可證得sinc函式是一組orthogonal basis.
取樣過程, 就是為了得到.
是原訊號在基函式(sinc函式)的projection, 即係數.
從到,可得 \ = T_sx(nT_s)" eeimg="1"/>
2. 重構過程, 就是x[n]進行插值, 加上歸一化係數
P.S: 以上取樣過程 , 為sinc sampling, 也就是抗混疊的取樣. 如果是raw sampling就是直接
補充 &= \\ &= \\&=(sinc*x)(m) \\ &= x(m) \end" eeimg="1"/>
其中倒數第二步到最後一步用了convolution property.(略去不寫)
對上面的再進行一下說明.
為什麼我要用basis, 要用空間去說取樣呢.
因為DFT的變換式子如下: " eeimg="1"/>(連續也是inner product).
這條式子說明了 是一組basis, 而則是以為basis的座標(projection)
所以sampling 和 interpolation 類似於Fourier Transform, elegant!
2樓：淨直
是因為sinc訊號在頻域上是乙個矩形窗。
乙個連續時間訊號經過理想取樣後頻譜會產生週期延拓。為了重建訊號，就需要用低通濾波器把週期延拓產生的高頻部分濾掉，只保留原來的基帶頻譜。這個低通濾波過程就是在頻域上乘乙個矩形窗。
頻域中相乘對應時域中卷積；頻域中的矩形窗對應時域中的sinc訊號。
所以在時域上重建訊號就是要把取樣後的訊號與sinc訊號進行卷積。這個卷積運算化簡一下就是所謂的取樣內插，內插函式便是sinc函式。
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