1樓：淺斟低唱
在物理中，我們大抵會解決三類方程：
1、ODE的初值問題；
2、PDE的初值+邊值問題；
3、ODE的邊值+本徵值問題。
疊加性原理，加上所謂的分離變數法，告訴我們2和3是聯絡在一起的，其中2可以推導至3.
情況3中比較物理的情況，就是斯圖姆-劉維爾本徵值問題，或者說自伴運算元的本徵值問題。
從三個角度可以說明本徵值問題為什麼這麼基本：
第一，本徵值問題具有泛函極值性。而物理問題的基本處理是所謂的最小作用量原理，即尋求泛函極值。
從有限維矩陣角度，厄公尺矩陣的本徵值是對應的歸一化厄公尺行的本徵值問題。
自伴運算元的本徵值問題也是如此，見科朗，希爾伯特《數學物理方法I》第六章。
淺斟低唱：變分法
第二，運算元的本徵值問題在差分情況下真的就是矩陣的本徵值問題。
怎樣利用MATLAB求一維含時薛丁格方程的數值解？
第三，引入矩陣的本徵值問題往往是為了化簡矩陣的冪次方運算，即對角化，自伴運算元的本徵值問題也是如此。
例如在物理中最常見的，求某一厄公尺矩陣對應厄公尺型的高斯積分 ，需要知道矩陣的行列式和逆，而:
只需要求解厄公尺矩陣的本徵值問題。
例如含有自伴運算元的高斯積分
需要計算自伴運算元的逆（又叫做格林函式）和行列式，而:
是乙個無窮乘積（無窮乘積可以參見：拉夫連季耶夫《復變函式論方法》）
而 （格林函式的本徵函式展開參見:Hassani, Mathematical Physics, Chapter 20.4）
再例如量子力學的演化:
也是乙個本徵值問題。
這些問題的所有解決都依賴本徵方程。第乙個我們看到了本徵方程和物理學基本研究方法的聯絡；第二個我們看到了本徵方程在數值方法中的意義（因為數值中線性代數是基本的，參考LAPACK)；
第三個我們看到了本徵方程對於實際的計算的幫助（物理學中碰到最多的高斯積分和算算子的指數，微擾論問題也可以回到做高斯積分）
2樓：任道正
眾所周知，本徵解的線性組合依舊為原方程的解，所以為什麼我們要特意關注本徵態/本徵值/本徵解呢？這個問題的數學意義還好，物理上就非常重要了~
這裡舉幾個例子：
1. 雷射在腔內多次反射，出射之後的雷射束場強分布為何符合拉蓋爾-高斯多項式？
2.微波在波導中傳輸較長距離之後，為何也是拉蓋爾-高斯多項式?
3.為什麼大多數時候原子都處於基態或者某個激發態，而不處於基態和激發態的線性組合(疊加態)？
本徵態的線性組合的疊加態雖然仍然是方程的解，但在長時間的演化過程中，由於受外界或者其他擾動的影響，這種解是不穩定的，會逐漸衰減變為本徵態~
在1，2兩個例子中，拉蓋爾-高斯多項式就是光波傳輸方程的本徵函式，由本徵函式疊加而成的雷射或者微波在長距離的傳播後，會蛻變為相應的本徵函式或者衰減至很小~
在第三個例子中，原子當然可以處於不同能級的疊加態，但由於原子與外界的相互作用，它很快會由疊加態按照一定的機率變為其他能級的本徵態！體現在數學上就是其密度矩陣的非對角項逐漸變為零，這個過程就是所謂退相干~
綜上可知，雖然由本徵函式線性組合而成的解仍然是方程的解，但在真實世界中這種疊加態不可避免的收到外界的相互作用，它會逐漸衰減至很小或者乾脆蛻化為原本徵函式，也就是說這種疊加態不穩定~
3樓：拼勃向上
一般來說，量子力學中的力學量表現為算符，物質狀態表現為波函式。
設算符為A，且為厄公尺算符。波函式為φ(x)，於是我們有φ*(x)Aφ(x)為力學量的概率密度函式。顯然B=∫φ*(x)Aφ(x)dx就是A的期望值。
一般來說，A的方差是大於0，如果等於0，就有唯一確定值。
我們知道方差也是算符，公式是(A-B)。所以∫φ*(x)(A-B)φ(x)dx就是方差的期望值。如果它為0，那麼方差也就為0，因為方差總是大於0的。
於是我們有(A-B)φ=0，這就是特徵方程。
給贊給贊，碼字很辛苦。
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長沮 有時候無量綱化能更快看清物理問題，這裡舉個不算解方程的例子 考慮用矩陣力學方法處理一維諧振子時，為了寫出產生和湮滅算符，先把座標算符和動量算符無量綱化，這樣座標和動量的對稱性更加明顯，寫出產生和湮滅算符也更加自然.用波動力學處理時，也用了無量綱化處理，自己動手解解薛丁格方程就能體會到好處了. ...