1樓：
這個問題你要去看數學物理方法這本書。
本徵值對應後面的本徵解是一套正交解系下的不同結果。某種程度上就跟描述三維點的座標，將不同分量對應到三個正交座標軸上差不多。
正交解系下的乙個解就可以看作乙個座標軸，但是在完備的正交解系下，解的數量很可能是無窮的，也就是座標軸是無窮的。
求解不同的物理學方程會有不同的本徵值，本徵值對應的本徵解根據方程的不同會有很多不同。但是他們的共同點在於，這些本徵解的正交性。
比如在笛卡爾座標系下的三角函式解系，在圓柱座標系下的貝塞爾解系，在球座標系下的勒讓德解系。
2樓：靜光
在量子物理中，我們知道的只是計算、計算、計算，知道這樣計算可以得出正確結果。至於為什麼這樣計算，我們不知道，如果誰能弄清楚哪怕一點點，就可以得諾貝爾獎了。
3樓：錐管
原因也許應該這麼說：因為科學理論裡經常出現線性方程（包括線性微分方程）。比如：
薛丁格方程：波動方程：
線性方程簡單點說就是只出現未知函式一次方項的方程。所有的線性方程都可以用本徵值方法求解。
至於為什麼線性方程經常出現，主要兩個原因：
1. 一切微擾問題的方程都可以線性化。當我們尋找已知解附近的其他解時，可以在已知解的基礎上對方程作泰勒級數展開，這被稱為微擾論。如果只保留最低階一次項，方程就是線性的。
恰好物理學關心的很多問題都是微擾問題，比如聲波是空氣的微擾，熱傳導是熱平衡上的微擾，粒子物理是宇宙上的微擾，引力波是時空上的微擾......
2. 非線性方程太難解！比如愛因斯坦場方程，嚴格解屈指可數，還都是加了各種對稱性才得到的。雙黑洞的數值解到二十一世紀才模擬出來。再比如流體力學方程裡的混沌問題。
事實是，大部分理論科學家都是靠線性方程吃飯的。
4樓：
不想多扯公式。本徵值最簡單理解為乙個矩陣的本質資訊。
比如把乙個描述三維球體的方程寫成矩陣形式，不同的線性座標系下，方程不同，所以其矩陣形式也不同，我最想知道是這個球的基本幾何性質（也就是它的半徑）。不同座標下的矩陣的本徵值（這裡的本徵值就是球半徑）都是相同的，因為該球的半徑在不同座標下都是同乙個值。
在上面這個例子裡，三維球體幾何形狀的本質資訊就是它的半徑，也就是本徵值。至於他為什麼運用那麼廣，我的理解是，物理系統的描述往往依託於座標系，而物理學家最想得到往往是一些內稟的資訊，所以本徵值那麼重要。
我印象裡大致是這樣，可能很多細節不周全，如果有興趣可以看看維基百科Eigenvalues and eigenvectors
裡面有本徵值的歷史，也是題主提問裡提到的。
5樓：
如果A、B、C都是線性變換，當且僅當n是他們共同的特徵向量時，才能做到ABC(n)=ACB(n)=BAC(n)=BCA(n)=CAB(n)=CBA(n)=k*n，既線性變換的疊加不改變向量的方向——而物理過程經常可看作線性過程的疊加。如果要求乙個量經歷所有物理過程後都不改變方向，例如萬有引力，一般來說物理過程不會改變它的方向（但會因質量的變化而改變其大小）——因此，相關量遵循的方程必然是特徵方程。你也可以認為特徵方程是變數連續性的副產品，因為只有特徵向量能在經歷所有物理過程時都保持「連續」（非特徵向量會改變方向，因此不「連續」）。
再者，你也可以認為特徵向量是某些物理過程的順序無關性的體現，如果兩個物理過程發生的先後順序不影響其結果，那麼相關變數很可能遵循特徵方程。綜上所述，特徵向量可以是很多物理現象的體現，是很多物理現象的一種共同「屬性」，這也就解釋了為什麼其常見於各個領域。
6樓：
本徵值不僅在物理裡普遍，這是因為乙個矩陣（算符）的本徵值譜，是儲存全部矩陣資訊的最緊湊表示。當然有些應用中選擇特定表示是很重要的，因此我們還需要記錄本徵向量來聯絡其它表示和本徵值表示（對角矩陣）。但因為對角形式下矩陣元素最少，幾乎任何運算都可能有非常簡單的形式。
為什麼本徵方程在物理中應用廣泛？
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