1樓：
這是一種自然的形而上問題。依據不同的實在性標準，這個問題可以有不同的答案。
既然是關於實數的問題，自然首先就要搞清楚什麼是實數。在現有認識中，實數被刻畫為普適的阿基公尺德全序域。要問實數的實在性，自然就要問阿基公尺德性質，域結構和全序性質對於物理的實在性。
對於數學家來說，實數只是一種可以被泛性質唯一刻畫的數學結構，同任何數學結構一樣，都談不上實在性。但是可以考慮這樣的問題，即實數所刻畫的一些模式，比如阿基公尺德性質，全序性是否夠格成為一種基本物理定律或者是否是表達現有物理定律的必要背景，回答了這個問題等同於回答實數對於物理的實在性。在這種意義，實數對於物理的實在性問題，就等價於實數對物理定律的必要性問題，這一問題自然是乙個價值判斷的問題。
從歷史的角度來看，實數不是從來就有的，也不一定會永遠的處於基礎地位。實數的產生，源於無理數的發現，而無理數的發現則是畢達哥拉斯「定理」的自然推論（自然哲學意義下的推理）。所以，實數完全是定理或者數學體系完備性要求的產物，而不是來自於自然是連續還是離散的本體論問題。
實數理論對於幾何的應用顯示出強大的威力之後，進而催生或堅固，或強化了人們的自然連續性的觀念，或者說自然連續性成為了人們基於價值判斷而被迫接受的觀念。
無理數的產生，雖然擴大數學的應用價值，但同時也導致了數學的第一次理性危機。其後，微積分的嚴格化又催生了數學的第二次理性危機。所以，每一次應用價值的擴大都伴隨著不同程度的理性危機。
很多現實問題要用價值判斷來解釋，而無法用邏輯來解釋。
同樣的情形，也適用於複數。為啥複數的產生雖然擴大了數學的應用功能而沒有產生深刻的理性危機呢？這是乙個值得考慮的問題。
對於複數，好像還沒有像實數那樣的刻畫，但大自然中微觀粒子偏愛複數，同樣電磁波也是用複數描述的。複數的真實性問題是乙個更嚴重的問題。
複數是一種適合描述轉動和波動的結構（也適合描述干涉現象）。相比較而言，複數失去了序結構，但它的對稱性比實數更高階了。從數學上看，量子力學和量子資訊的奇幻性一方面來自於其張量結構的非笛卡爾性質（線性結構，不可轉殖原理），另一方面就是複數和測度結構。
再補充一點，如果這個問題背後的動機是世界世界在本質上是連續還是離散的問題，我想這個問題還是有完美的答案的，即物理世界在本質上是量子的。當然，這個問題在我這裡可以認為是被終結了。
對於我的這個完美答案，有乙個很重要的證據，那就是霍金—馬拉門特定理，該定理指出因果結構非常基本，它可以決定時空的拓撲，微分結構，共形結構，和維數。這是乙個非常穩健的數學定理，值得信賴。
離散還是連續的問題，這是經典世界觀內的問題。而量子的世界觀則超越了離散和連續的二元對立，經典邏輯或資訊是非此即彼的（排中律和矛盾律），而量子資訊和量子邏輯則超越這些。根據惠勒的延遲選擇實驗，並假設反事實推理有效，那麼我們可以得到觀察即創造的結論，這完全符合人類大腦的認知本性。
量子資訊相對於經典資訊，它有什麼好處呢？除了超越離散和連續的對立之外，它還是不可轉殖的，並且可以接受無數次的詢問。
2樓：達客
文老師的問題正好是我的玄曲論所涵蓋的，如果您不是個有成見的人，請您移步參閱我的專欄。這裡簡要回答：虛空空間可以借用虛數描述（請注意，「空」跟「無」完全不是一回事），能量（具有時間效應的）恰好是負數的描述範圍（尤其是時間的瞬逝性），實體粒子物質又恰好適合正數的性質（如物質實體的存在壽命）。
至於近似值的問題，您知道一方面是觀測原因，另一方面更是數學模型的適配性原因了。我的理論還只是個簡單的思路，或許可以為您「遙指杏花村」。希望具有科學精神的您沒有偏見！
3樓：魯新奎
文老師的思考極其深刻，但問題卻極其簡單，本質是數學基本問題。數學是應該師法自然還是應該建立在想象、腦補、理想化假設的基礎上？
事實上，數學是建立在一系列悖論基礎上的，芝諾悖論、貝克萊悖論、康托悖論、羅素悖論、哥德爾悖論……。說明其基礎假設和公理並不可靠，數學建立的是巨集偉的空中閣樓。
大自然是自恰無悖的，大自然用量子性規避了一系列「無窮小絕對連續」帶來的悖論。遵循師法自然的原則，對微積分進行量子化、有理化、科學化重構，完成「克羅內克的革命」，將是數學家們的艱難選擇卻輕鬆至極的任務，艱難在跳出「機械思維」（純量變無質變）的思維陷阱和「無窮小基礎上的絕對連續」的觀念陷阱，拋棄人類耗費巨大的聰明才智建立的漂亮玩具。
4樓：孟月
我個人的認知是：一條線段的長度是確定的、唯一的、精確的，是現實存在的客觀事實，它到底是有理數還是無理數都不影響它的客觀存在及客觀尺度。而這條線段與其它物件的關係個數，一定是有理數個的。
5樓：予一人
這既不是數學問題，也不是物理問題，而是哲學問題。
對哲學問題的回答依賴於信仰。
事實上，對於那些信奉由柏拉圖的「型相（form）論」所肇基、並經由康德通過「先天直觀形式」等概念所發揮的客觀唯心主義思想的人們來說，他們可能更願意接納相反的一種觀點：數學比物理更為真實。
6樓：小亦
數的概念和測量是有不同的，測量出來的值始終是個有理數（rational number）即「比例數」，涵蓋的是一種擁有「基本單位」的特徵的數字。誇張地說甚至是因為這個世界是量子化的存在，才導致了我們不需要用到比有理數更高階的數。
另一方面，實數具備乙個必須的特徵就是「極限」，任何數都是有理數列的一種極限，極限就意味著不可測量，要麼是小數點後無窮小，要麼是小數點前無窮大，總之沒有個盡頭。而這樣的特點可能恰恰是物理世界所「不需要」的，物理世界裡面大多數規律只需要保留可見的前幾項、捨去後面無窮項便能得到乙個非常不錯的結果，這個結果還能和實驗測量達成不錯的一致，這就足夠用來說明很多物理問題。
再引申一下，我們可以反問一下，物理需要乙個像數學一樣的「公理體系」嗎？量子出現的這一百年，似乎在很多時候「不符合直覺」的物理一直在促使人們將物理往公理化方向走，但物理不像數學那樣無用之學，一旦公理與實驗矛盾怎麼辦？那必然是選擇實驗事實為更基礎的證據，那測量便是這個世界唯一的物理工具，那公理化或許只是一部分完美主義者的癖好而已，或許也就不需要用到乙個完備的實數系統了。
7樓：鬧鐘
我大致能理解這個問題以及很多回答的思考，不過有兩點值得注意：
實數從數學上只比自然數大了一點點，自然數取冪集和實數等勢，所以有實數並沒有複雜很多，你很難找到理由不對自然數取冪集吧？
從康託的基本列（柯西序列）法構造實數的方法中可以得到一種感覺，我們可以把基本列看做控制誤差的一種工具，那麼實數就是使得這種方法能夠達到任意精度的數學理論，事實上，你如果想要某種數系，可以讓你做物理的時候達到任意小的誤差，那麼它必然實質上就是實數。
8樓：
實數是乙個概念，是一種客觀存在，但缺乏實體性，它的發明，是人類認識和理解世界的工具的突破，作為乙個概念，和其他概念一樣。諸如語言，文字，一樣，能夠對客觀世界進行某種形式上的刻畫，將無序的，尚未認知的實體的性質用數學語言表出，使得實體的某類性質能被認知，具象實體從屬的特徵概念類別清晰化，具體化，有序化，針對數學而言，實數本身是數學底層概念，與其他數學概念一樣，通過所屬範疇，數學物件之間的邏輯聯絡，演繹過程中不斷增加的物件和結構，框定出乙個具有嚴密邏輯(特定邏輯)結構的整體。而在與物理物件聯絡時，不僅有測量(度量)性質，還有規範性質，將某一類實體性質遷移到物理學框架內，使得整個框架內物理結構的存在能夠自洽，當然，物理體系本身結構也是獨特的。
至於為什麼數學能引入物理體系，斗膽猜測一下，可能是數學某些結構之間的物件的刻畫和表現尺度較完美地能匹配某些物理結構。一些概念諸如鏟子，石頭，可要比實數實在地多。從兩個體系建立以來，兩個體系不斷發生著內部的革新，同時也在不斷用自己的方式加強著同外部世界的交流，從歷次數學危機到天上的烏雲，都在用更加進步的方式影響著對方，乃至其他。
9樓：物理大學渣
不知道教主的意思是不是想表達凡事我們能測出來的實際上由於精度原因都帶了估讀.（近似）而我們測不到的部分的本質我們無從得知？
10樓：
這彷彿喝了假酒一般的問題描述，讓我感覺知乎官方是不是把實名認證搞錯了？
從經典的角度講，儘管物理中的測量只能得到乙個有理數，這不代表被測的物理量就是乙個有理數。認為待測物理量是乙個實數，而測量值是它的乙個有理近似值，這不是很自然嗎？否則可用的數學工具就太少了，隨便給物理量開個根號就開到不存在的數了？
如果進入量子力學或者量子場論的領域，雖然有測不准原理對測量的精度上限給出約束，但是波函式依然是存在於乙個連續的實數時空之中的。這裡似乎有一些難以驗證的味道：既然測量誤差是物理的一部分，你怎麼能確定時空就是連續實數空間呢？
很簡單，有兩個步驟，第一步是建立乙個非實數描述的時空為基礎的理論，可以解釋目前的所有實驗現象；第二步是推導出離散時空的某些實驗現象，然後讓對撞機去找。事實上只要能做到第一步，而且物理模型比較自然（比如不要包含幾百個引數），就已經是天大的新聞了，畢竟現在高能實驗已經把大部分有希望的新物理引數排除到天上去了。
到了量子引力領域，蒲朗克能標確實暗示在某個尺度下目前物理理論的崩潰，但是這個尺度離目前的實驗還有十萬八千里遠呢，就現在這個對撞機能標，妄想研究蒲朗克能標以上，也只能成為數學家。所以怎麼就這麼肯定在蒲朗克能標以上時空就不連續了？萬一跳出來個別的新物理繼續抬高能標呢？
11樓：VIC
從物理學引入微積分開始，其實就已經在某種意義上假定它研究的物件是數學的，只不過很多物理學家沒有意識到或者不願意承認。因為只要一使用微積分這套系統來定義或計算物理上的東西就已經自動假定所有真實的存在（物理量）都對極限運算封閉，即具有某種數學家稱作實數的結構，否則很多物理量在這套框架下根本沒法定義，所謂不完備性。
但問題是微積分這套系統很可能本身就不是一種真實的存在，也就是一開始就錯了。這樣的話物理量當然就不是實數。
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