1樓：黑祭司
假如有最小作用量子 ——這個屬於假定，量子力學中無法第一原理性得出。
考慮到則可以斷定作用量子 是q與t的線性函式，即存在
其中，與必定是某同一複線性空間中的兩個函式，否則（1）式無法匯出具有雅可比性的哈密頓量（即重寫的哈密頓量在新的廣義座標Q,P下為0，可以直接用哈密頓-雅可比方程匯出，也可以利用（1）式匯出，很簡單，暫且略過）。
但是問題是與 到底相差乙個函式 還是相差乙個常數c ?這是我們不知道的。如果相差乙個函式那麼列成波動方程是解不出的。
於是我們引入量子力學的第二個假定，即線性疊加原理，它的正確表述是力學量在同一最小作用量子下，由運動方程所決定的廣義座標滿足線性關係（注意這個表述，不是廣義座標決定運動方程）。 狄拉克將它表述為泊松括號，泊松括號隱含了兩個力學量是線性的關係，但是它並未唯一性的得出作用量是(1)式的作用量，此時是正則動量、正則座標決定運動方程，這也是題主為什麼提問的原因，動量算符怎麼來的不知道。
有了第二個假定，即線性疊加的假定，我們就可以斷定，與 必定是對應同乙個數，即存在與的不變內積C ，則可得出與 是希爾伯特空間中的元素，於是我們可以將它寫為同乙個函式，此時列成波動方程可解。即是對應拉氏量不變的唯一不可消除的規範自由度——注意該規範自由度是無法通過任何座標系統的選擇來消除的，它是系統內蘊的。從它利用（2），（3）式不難得到相應的正則動量與正則座標。
順便還可以得到薛丁格方程,就是解了。
一般利用哈密頓-雅可比方程，我們總是可以選擇一種特殊的座標系統來構造乙個規範自由度，它可以借變換到新的座標系統裡面來消除。泊松括號也是相同的原理。 例如在幾何上如果我們選擇球座標，事實上就構造了乙個規範自由度，它對應旋轉下矢徑不變。
這種手續也叫正則量子化，但是它無法得到普適的（1）式。
事實上（1）式具有形式,這是比較逆天的，就是說作用量取極值跟你對正則座標的變分無關了（當然寫成對拉氏密度的積分關係又回來了）。教材將是作為假設引入的,一上來就讓你背非對易關係，然後告訴你非對易關係導致不確定性，其實動量與位置的非對易關係，只有先得到最小作用量不為0才有意義，否則 的情況下，是不存在不確定性的。
2樓：「已登出」
我來寫乙個暴力的方法
方便起見，我們先把p當成線性的；（不假設線性也可以，但是最後在taylor展開那一步必須用遞迴+餘項判據）
我們可以看到
(p q^n) = ( -i + qp) q^ = -i q^ + (p q^)
也就是令 P(n) = 1/q^ * (p q^n)，那麼我們會出現 P(n) = -ni
我們有p q^n = -i n q^
於是對於乙個可以在 q 上 taylor 展開的函式 f(q)得到結果
所以說，暴力能夠解決大部分問題 —— 魯迅
Everything that could be done violently should be —— J.K. 羅琳
3樓：qfzklm
C是電容的意思？那自然可以當作常數了。。
恩，量子化版本，全看你用什麼廣義座標了。目測題主問的C是電容的意思，對應的廣義座標是電勢，廣義動量是電量。。
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