1樓：奧貝里斯克
0.引言
首先以圓和直線為例，簡要說明一下曲率和曲率半徑的意義。
對於半徑為 的圓來說，圓周上任意弧段 的切線方向變化角度 等於半徑 和 之間的夾角 ，因為弧 ，所以曲線段 的平均曲率為
上式說明圓周的平均曲率是乙個常數，這個常數和它的半徑 有關。
對於直線來說，直線任一點的切線與直線共線，因此任意線段切線方向變化角度為 ，所以直線的平均曲率為
上式說明直線每一點彎曲度都相同且為0，符合「直線不彎」的直觀意義。
所以曲線的曲率是對於曲線某點切線方向角對於弧長的轉動率，其值表示曲線在某點彎曲程度，曲率越大則彎曲程度越大，而曲率半徑與曲率互為倒數。事實上，其精確定義涉及弧微分相關理論，這可以在很多微積分/高等數學/數學分析相關書籍上找到。
1.基於高中理論的拋物線曲率半徑推導
下面以高中涉及的理論對曲率半徑公式做出乙個不是很嚴格的推導，為了向高中生朋友們說清楚這個問題，在不超綱的前提下不得已加入了一些物理背景，想看純數學方法的朋友還請見諒。個人理解，僅供參考，如果有誤，敬請指正。
設有拋體運動，其引數方程為：
消參得到軌跡方程：
對軌跡方程求一階導數得：
對軌跡方程求二階導數得：
對軌跡上任一點 有：
定義 為拋體在任一點處水平速度與合成速度方向夾角，即：
將拋體加速度按平行於合成速度和垂直於合成速度方向分解，將拋體在任一點處的運動視為變速圓周運動，則垂直於合成速度的加速度 作為此圓周運動的向心加速度。
由向心加速度定義：
得曲率半徑：
此時已經得到拋物線 的曲率半徑。
為了說明一般規律，經過簡單的恒等變換，曲率半徑可表示為：
其中 項恰好為拋物線方程的一階導數在 點處取值， 項恰好為拋物線方程的二階導數在 點處取值（事實上這條拋物線上各點處二階導數均為這個常數）。
2.結論
對於一般拋物線方程 ,有曲率半徑：
事實上這也是一般平面曲線的曲率半徑計算公式。
3.參考文獻
[1]歐Sunny中等.數學分析[M].第四版.北京:高等教育出版社,2018.
[2]同濟大學數學系.高等數學[M].第七版.北京:高等教育出版社,2014.
2樓：nnnn123456789
區域性取三個點, x1, x1+a, x1+b和對應的因變數值，作乙個圓，算這個圓的半徑(曲率半徑)的倒數，之後讓a和b趨於零。
這是純高中方法。計算出來的結果和用兩階導數拿出來的結果是一樣的(當然一樣...)
或者這樣做這個圓，過曲線上的乙個點(x,y), 和曲線共享切線(這時能確定圓心所在的直線，還剩乙個半徑，記為r, 圓的方程能帶r的表示出來)，之後在x,y這個點使得圓的二階導數和這個函式曲線的二階導數相等，再去解這個r就是曲率半徑，倒數就是曲率。
算出來的結果也是一樣的。
我高二時，用這個方法算過一般的x^2/a^2+y^2/b^2=1在x,y處的曲率半徑是多少。
取兩個點作直線，極限是切線，取三個點作圓，極限叫密切圓。密切圓的半徑倒數等於曲率，這才是曲率最原始的定義方式。
曲線區域性可以由切線代替(一階)或者密切圓代替(二階)，計算加速度，向心力之類的物理問題往往需要作密切圓來解決。
3樓：Joe Zheng
設拋物線方程為
將 的解析式帶入：
在頂點處 ，與用高中範圍內，利用斜拋所計算的，物理方法推導的結果相同補充一下物理做法
對於斜拋過程：
最高點的向心加速度由重力提供：
軌跡方程：
對比係數發現
如何用數學方法證明出（ln 2） 1 3？
知乎上哪來的這麼多這種 nc 題？算到小數點後 100 位就是數學方法。別人是證明不等式，知乎是比較兩個確定的數的大小，醉了。 蘇打 由於 代入 得到 於是 從而 上述的表示式是 在 處 階帕德逼近的結果。帕德逼近是一種用有理函式 進行函式逼近的方法，具體措施是通過一系列的等式 來確定待定的係數，將...
請問如何用數學方法證明K means是EM演算法的特例？
霖霖霖丶 寫點個人的想法。總的來說，GMM與kmeans的關聯在於 在權重一致 協方差矩陣為單位陣 硬分配的情況下，kmeans是GMM的乙個特例 GMM通過soft EM推導，kmeans可通過hard EM推導 由於協方差為單位矩陣，故kmeans聚類的形狀是球形的，而GMM是橢球型的。 趙易明...
求解乙個超越方程，如何通過數學方法求解？
冶珠沛漆 精確解似乎是沒有的。說說我經常用的excel的方法。實際上，我經常使用的是形如這樣的 x f y y g x 這樣的兩個未知數，f和g是超越函式的方程。選乙個簡單點的函式求出反函式，化為齊整形如的x f y x h y 的方程。然後在excel的第一行隨便弄個在定義域的值作為y，第二行輸入...