1樓：蒼龍轉生
貼上一下理髮師悖論。
理髮師悖論與羅素悖論是等價的：如果把每個人看成乙個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的物件。那麼，理髮師宣稱，他的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合，並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。
那麼他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。
十九世紀下半葉，德國數學家康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。
因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。
2023年，乙個震驚數學界的訊息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素的這條悖論使集合論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。
德國的著名邏輯學家弗雷格在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：
「乙個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了。」
公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。
而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展。
2樓：李三畏
為匯出答案，只有先引入一條公理：
列舉公理：任何大佬都無法用零列舉符號之外的列舉法表示乙個空集。
根據該公理，有下面的定理。
懵圈定理：俺們無法用列舉法表示集合A=.
證明：設P為任意謂詞，則
x｜P(x)∧P(x)}∧A=
A==Q.E.D.
Ax x 意義是什麼？
好好學一下線性代數，空間的概念。對於這個，理解有很多方面。這個其實就是乙個變換，某種意義上說，變換A 即矩陣A 作用於x，具有某種不變的不變特性，即方向不變。線性代數裡還有許多變換下的不變數 初等變換下的不變數 秩，等 相似變換下的不變數 特徵值，等 合同變換下的不變數 正定性，最簡標準型等 回答得...
所有集合構成的集合？
李杭帆 這個推理不成立的關鍵點在於，你所說的 R 在 ZF 集論中作為集合是不存在的，也就是說 R 是真類。自然也就沒法保證 dom R 是集合。實際上，dom R 是所有集合構成的真類。 Bat特白 關於這個問題，首先關係是乙個笛卡爾積的子集。也即 而 不談 的話，談 沒有意義。例如 R 那麼 是...
」所有集合的集合」是否如同」集合 X X不屬於X 」一樣有個自帶的矛盾 從自身出發能匯出矛盾 ？
已經說過很多次，羅素悖論可以直接用反外延公理消除。反外延公理 如果兩個非空集合含有同樣的元素，則這兩個集合的交集為空集。這涉及到多世界系統之間的計算，1 1成立的條件是在一階邏輯公理系統 本系統 如果在多世界系統裡1不等於1是可以成立的，即X不屬於X是可以成立的。反外延公理包含了X X和X不等於X，...