1樓：CuKing
考慮組合意義，從n個元素的集合裡選取若干個元素，方案數是2^N（因為每個元素都是選或不選兩種狀態）
從n個元素中選取i個元素，方案數根據二項式係數定義為 ，列舉i求和，等價於上乙個問題，所以得證。
也可以直接用二項式定理
2樓：NeraSnow
是二項式係數之和吧？
我們首先觀察：
表示對於從這樣的集合裡，放回選取1次得到的結果。每一項代表了選擇的結果。即結果為 。
表示對於從這樣的集合裡，放回選取2次得到的結果。
結果為 。
（注意，這裡我們區分順序， 和 不同，但代數展開時，通常認為他們是同乙個數，但這並不影響我們的計算，因為我們只是求和）
我們知道
(分配律）
表示對於從這樣的集合裡，放回選取 次得到的結果。最後乙個等式說明，這樣的結果的個數等於最後一位/第一位選 加上最後一位/第一位選 。
同樣的我們可以遞推地得到說 確實是對於表示對於從這樣的集合裡，放回選取 次得到的結果。
我們應用乘法原理。
總共有 次選擇，每一次選擇有 種可能性。
所以，總共有種選法。
同樣的東西，我們換一種數法。
又由於二項式定理
等號右邊的和的每一項代表有給定數量 個 和 個的 ， 和 總數為 。二項式係數代表前面所敘述的選法的數量。
又由於我們已經求出總共有 種選法。
故，二項式係數之和等於 。
如圖,怎麼用二項式定理證明0的n次方等於0
笨小孩 簡單！當你寫完如下示意的所有步驟時，你就成功地用二項式定理證明了0的n 正整數 次方等於0了 第1步 0 1 1 1 1 1 1 0 第2步 0 2 1 1 2 1 2 1 0 第3步 0 3 1 1 3 1 3 3 1 0 第4步 0 4 1 1 4 1 4 6 4 1 0 第5步 第6步...
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