1樓：章佳傑
題主是乙個愛思考的人！很欣賞題主這樣自主鑽研的態度！
就這道題而言，題主已經自己得到了解。過程姑且不論，但是題主的感覺是很正確的，類似這樣的雙根式求極致的問題，都可以轉化到幾何問題上進行畫圖求解，題主探索的換元的過程，其實就跟求解二次方程的時候配方是很像的。但是有的時候兩個根式的係數不一樣，用幾何方法解反而麻煩了（可以模擬光線的折射定律）。
說回到這個方程上來，為什麼這個方程計算器解不出來？
為何 CASIO fx-991CN X 用 SOLVE 解分式方程有時無解？
但是！我要說但是！上面這個回答裡的函式長得很崎嶇，可是題主這個方程的影象畫出來就可以看到，明明是乙個性質很好的函式，是乙個凸函式（一般看到凸函式就知道問題可以解決了），並且有唯一的全域性最小值點——這麼好的性質，居然解不出來？
豈非咄咄怪事？
肯定有人就不信邪，那我們就牛頓法走一遍：
牛頓法迭代表示式為：
手動按計算器有點累，偷懶拿 mathematica 算一下：
In[1]:= Module[,
df = D[f, x];
NestList[(x - f/df) /. &, 99.0, 30]
]Out[1]=
可以看到，基本上迭代到二十五六次的時候就差不多收斂了，能夠準確收斂到預想的解 -8/3，看起來沒有問題——明明就能解嘛，所以是計算器太爛了？
且慢！我們試試稍微改一改，比如把 改成 再求解一遍試試？
In[2]:= Module[,
df = D[f, x];
NestList[(x - f/df) /. &, 99.0, 30]
]Out[2]=
大家可以比對一下上面這兩次程式執行結果（大家來找茬？），這次只用了五六次迭代就已經收斂了。僅僅改了一點點，求解的速度大為提高！看來我們錯怪計算器了。所以應該是牛頓法來背鍋——
再且慢！
牛頓法作為一種廣泛使用的數值方法，其效能優異是有目共睹的，為什麼在這種簡單的方程上會翻車呢？這其實和牛頓法的收斂速度有關，正所謂成也蕭何敗蕭何，以收斂速度著稱的牛頓法，也會栽倒在收斂速度上。
以上面第二次【正常的】牛頓法求解為例，我們計算一下每次迭代之後「距離」最終的「正確答案」有多遠（【容易知道】←_←，其中乙個正確答案是 ）
In[3]:= Module[,
df = D[f, x];
Abs[# - (-3752 + 45 Sqrt[11594])/1492] & /@
NestList[(x - f/df) /. &, 99.0, 30]
]Out[3]=
可以看到，乙個正常的牛頓法求解過程，迭代結果的誤差是【迅速】縮小的，迭代五六次之後就已經小於機器上的浮點數誤差了。畫乙個圖可能更直觀一點：
注意縱座標是對數座標！在對數座標下還有這種「急劇加速下降」的表現，也無怪乎牛頓法公認是效能優異的數值演算法了。這種「急劇加速減少誤差」的效能，叫做「二次收斂」，用稍微文縐縐一點的話講，就是隨著迭代步數 n 的增加，誤差是隨著 倍率減小的，注意兩層的指數！
這是乙個非常恐怖的特性！基本上隨便什麼初始值，迭代個六七次就都結束了。
但是！我們回到第一次的迭代過程上來。既然牛頓法有這麼優異的收斂性，為什麼在第一次的迭代中翻車了呢？我們同樣可以畫出第一次迭代時候的誤差曲線圖來：
可以看到誤差曲線是一條直線，意味著這種情況下只有「一次收斂」速度，迭代了二十多次的時候，誤差才勉強收斂到 水平。
這還是得從牛頓法的公式入手。假如說我們知道 是方程的準確解，那麼顯然有 ，我們在 處將方程按泰勒級數展開：
以及他的導函式也同樣展開：
代入牛頓迭代的公式：
如果 ，那麼經過一次迭代之後誤差變化為：
從這個遞推式可以看出，誤差項隨著每一次迭代都有乙個平方的關係，如果 已經距離答案比較近了的話，每一次迭代都能使答案的有效位數翻倍，這也是牛頓法恐怖的二次收斂性的根源。
但是！注意一開始的前提——「如果 」，恰好在這道題中翻車了。這道題的解正好是原始函式的極小值，所以在解的那一點導函式等於 0！
我們看看如果導函式等於 0 的話誤差項會怎麼變化，我們在第二行的分母上就不能只展開到第一項，而要展開到第二項了：
也就是說，每一次迭代，誤差只能減小為前一次的 1/2，雖然等比縮減速度也不慢了，但是和「正常」的牛頓法比起來還是慢得多了。所以並不是這種方程在迭代的時候容易越過零點導致不收斂，而是理論上來說這種方程牛頓法收斂速度就是很慢。
留乙個思考題：對於這種所求零點就是極值點（換句話說 的情況），有沒有可能讓牛頓法恢復到正常的「二次收斂」的速度呢？
2樓：電卓院亜紀良
方程 僅有乙個實數根，而且函式 的零點就是駐點而且還是極小值點。所以顯示無解就很正常，自己結合牛頓法原理想一想，這種方程在迭代的時候很容易越過零點。
所以不要怪計算器了，也不是什麼雙根式方程有什麼問題，純粹僅僅是這個方程本身的特性不適合使用牛頓法求解。不信你把方程右邊換成 試試，只要大於 就好說。
得到無解的時候就多嘗試一些初始值，比如 就可以。從解得的結果來看這個值誤差就比較大，更能說明這一方程不適合使用牛頓法。
3樓：千島桑
1）用柯西不等式可證
2）可自行查閱牛頓迭代法了解其侷限性。然後你說的無解問題，根據影象是連續函式在極值處取得，牛頓迭代法可以解出來，我自己按了，初值相同可解，
我這種計算器怎麼開二次以上的根號？
電卓院亜紀良 建議使用CASIO fx 82ES PLUS A 2nd edition 牛頓法也好，二分法也罷，你考試的時候有這麼多時間在那裡一步一步地算嗎？這種計算器怎麼開三次方，可以通過下面這個回答體會一下 電卓院亜紀良 如何用普通計算器計算出10的2 3次方？光講演算法不看實際操作，站著說話不...
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