1樓：
數軸標根法解不等式，
也稱為序軸標根法，穿根法，穿針引線法。
這是解一元多次不等式很實用的經驗性規律，據說是八十年代的某高中老師所發現，具體是誰我沒查到。
高中考試必備。
畫曲線的口訣：從上到下，從右到左，奇穿偶不穿。
口訣解釋：
從序軸右上方開始起筆（至於為什麼從右上方開始的問題，這是乙個值得研究的問題，我暫時沒有找到證明方法），向下開始畫曲線。曲線從右向左依次穿過序軸上的實數解，如果某乙個實數解有奇數個，則曲線經過該點穿過序軸；如果某個實數解有偶數個，曲線只經過該點不穿過序軸。
穿根法不是萬能的，它只能解決一些特殊的有實數解的一元的n次的不等式。
使用條件：
1.首先它只針對一元不等式，只有乙個未知數x。
2.該一元不等式必須有實數解。
3.使用時我們能對該不等式的左邊進行因式分解，不等號左邊變成為（x-X1）（x-X2）（x-X3）...（x-Xn）的形式，Xn為實數解，不等號右邊是0。
注意因式分解每一項的x的符號都是正號，這也是曲線能從右上方畫起的根本原因。我猜測，一元多次曲線右側結尾的方向取決於多項式中x的最高次冪項之符號正負，正號向右上走，負號往右下走。
一元多次函式可以因式分解成如下形式：
y=f（x）=（x-X1）（x-X2）（x-X3）...（x-Xn）
曲線走向的問題就是證明一元多次函式的單調性的問題，
右上起點問題就是證明：x軸上右側最大實數解到無窮大這一區間內的函式的單調性是向上的。
證明：單調性要對y=f（x）求導數。
一次函式y=x-X1，求導，y'=1,右側一定是單調向上；
二次函式y=（x-X1）（x-X2）=x^2-X1x-X2x+X1X2,設其中X2>X1。求導y'=2x-(X1+X2),
y'>0時單調向上，解出x > (X1+X2）/2時單調向上，那麼右側的X2到無窮大時一定也單調向上。
三次函式，臥槽，這個證明好麻煩啊，
我不想繼續證明了高階函式了，哈哈。
最後邊尾巴是翹起來的就對了。
額，我想到證明的乙個粗暴的思路啊，最大實數解為Xn。如果Xm>Xn,它就是Xn右側某乙個的Xm值，那麼代入因式的每一項Xm-X1>0，Xm-X2>0,......,Xm-Xn>0,也就是每一項都必定大於0，則f（Xm）>0.
大於零那麼這個時候我們描繪曲線的起手點一定在x軸上方，點（Xm，f（Xm））一定在點（Xn，0）的右上方，哈哈，不知道這算不算證明。
一元多次函式因式分解不等式：
y=f（x）=（x-X1）（x-X2）（x-X3）...（x-Xn）>0，n為n個實數解。
——為書寫方便，所有不等號我都寫為大於號》，其它如≤，≥或＜就不表述了。
我們經常用到的情況，
1.一元一次不等式
f（x）=x-X1>0，y=x-X1這就是一條直線，是一條經過X1點的斜向上的直線，大於零就是x軸上方的那部分。
2.一元二次不等式，
f（x）=（x-X1）（x-X2）>0，y=（x-X1）（x-X2）這是一條開口向上的拋物線，在x軸上有兩個交點實數解。大於零就是x上方的部分。
我們知道一元二次方程y=ax+bx+c的拋物線與x軸有兩個交點的時候就是有兩個實數解，X1≠X2，曲線需要穿過x軸兩次。如果X1＝X2時就是只有乙個交點了，曲線不會穿過x軸，正所謂「奇穿偶不穿」的原因就在於此。
3.一元三次不等式
f（x）=（x-X1）（x-X2）（x-X3）>0,y=（x-X1）（x-X2）（x-X3）的圖形叫回歸式拋物線，
4.一元高次不等式
已經是一條y=（x-X1）（x-X2）（x-X3）...（x-Xn）的蛇線波浪線了，它有n個實數交點。
一元多次不等式的因式分解就是我們能更直觀地知道實數解的位置，方便我們畫出曲線，但是能求出來這些實數解可不是乙個簡單的問題。
現實生活中我們經常看到用到一元一次和二次曲線。一元三次方程雖然也應用廣泛，但是只有在專業領域才能看到，工學、數學、生物學、軍事學等等可能我們選了專業或者出了校園等都接觸不到了。高階曲線已經是非一般人士可以玩的東西了。
高中考試考這點東西也只是淺嘗輒止的皮毛罷了，可能培養你的好奇心和興趣，說真的我上學的時候就不知道為什麼要學這個，單純就是為了考試。
高中的時候直線和拋物線都被我們考試玩爛了，
有興趣的同學可以了解一下一元三次曲線求解這個問題。
解一元三次方程需要學習卡爾丹公式和盛金公式，解ax+bx+cx+d=0的問題。
虛數和複數這些讓人頭疼的數學問題就是因為解它引出來的。
其實還有二元一次二次三次...方程，雙曲線、橢圓不等式等等哈哈哈哈，
數學真是學無止境，越學越驚悚啊！
2樓：MrVariance
本質是高次多項式的函式影象和根的關係，穿針引線畫出來的圖就是函式影象的草圖，而穿針引線就是畫多項式函式影象的方法（的另一種噱頭）。
舉個簡單例子，比如考慮 ，那麼已知的資訊有 ，於是 的圖象就是一條依次穿過三個根的曲線（↗↘↗），於是不等式 0" eeimg="1"/>的解就可以從圖象直接看出來。
如果有重根的情況，比如 ,則在 的時候應有 ，影象亦然，也就是說 的影象可以看作是 的影象在 兩點重合時的極端情況，於是 的影象是（↗→↘↗）但是在 處會與 軸相切（→表示此處有相切），用穿針引線的話來說就是「穿而不過」（如果我沒記錯）。
如果是三重根的情況，類似於二重根但是需要把中間的部分都去掉，所以圖象就變成了單純的（↗→↗）。這也就是為什麼奇數重和偶數重根不同的原因。
這種方法適用且只適用於任意高次多項式函式，原因是因為多項式的影象是這樣的方式畫出來的，換成分式函式就不會有所謂的穿針引線了因為分式函式的影象會有漸近線之類的存在，而並不是由根單獨決定（所以多項式有韋達定理，即根與係數的關係，根與係數，也就是函式互相決定）。
如何求以下無理不等式的解集？
海風 我在此解第二題 可知 1 x 1 x 1 因此，令x 1 x sin u u為常數 則原不等式轉化為 1 2sin u sin u 0,即 1 sin u sin u 1 2 0很顯然 1 2 sin u 1 即 1 2 x 1 x 1 解得x 3 3 關於第一題，我想到了與二樓十分相識的解法...
請問下面這個不等式如何證明？
順數人 證明不等式證明 用數學歸納法.當 時 成立,設不等式 對 成立,即 然後考慮左側不等式 left frac right cdot n frac frac cdot mathrm frac left frac right left frac right end eeimg 1 再考慮右側不等式...
請問這個函式不等式如何證明？
陪你看每乙個日出 在 上，原不等式等價於證明 當x 1時，等價於證明 0 eeimg 1 實際上做變數替換 易知兩者實際上是等價的，所以只用證明 時成立即可。只需要證明下面式子 對 和y 1成立即可 實際上 表示一支雙曲線方程，經過配方後得到 考慮雙曲線的引數方程形式，做三角換元，令 和 其中 不寫...