1樓：王箏
好問題。答案肯定是否定的，要不然幹嘛還額外定義可數可加對吧……
取值有限，那其實就是概率測度了對吧。
下面考慮這樣乙個例子。我們時常會談論乙個正整數集的大小或者密度或者稀疏程度，比如會說，在正整數裡，奇數和偶數各佔一半，或者說素數特別少遠遠少於合數，或者說任取兩個正整數互素的概率是(這件事情還是值得知道一下的，很好玩)。這些說法其實是在下面的意義下說的：
對於的子集，定義，其中card表示元素個數。
這個意義很明確，在前n個數裡面S裡的數佔了多少，然後令n趨於無窮。
當然了，上面那個極限並不是總存在的，但我們至少可以在極限存在的那些裡定義這樣乙個集函式，稱為其測度。容易驗證，如果提到的集合的測度都存在的話，那麼有限可加性是對的，平移不變也是對的，但是可列可加不對。
————————鄙人不才，只想到這裡，下面的東西來自wiki:Sigma additivity
但是這樣沒有完，因為使得上面那個極限存在的集合全體並沒有構成乙個sigma代數，但是我們可以通過泛函分析的手段把極限這個概念推廣。對於任意乙個的子集，記
顯然有，因此，即有界實序列全體。記為極限存在的有界實序列全體。那麼就是上的乙個線性泛函，然後可以利用Hahn-Banach定理延拓到整個(未必唯一)。
可以參考wiki: Banach limit. 這裡省略掉細節。
這樣的話把上面的極限換成Banach limit，就可以在正整數的所有子集上定義乙個概率測度，根據極限的性質這個測度是有上界1的，根據泛函的線性性得到有限可加，不可列可加也是容易的。
如果不考慮平移不變性，可以簡單地看，取上的乙個半範數，在上顯然被這個半範數控制，從而做Hahn-Banach延拓到上，得到乙個新的線性泛函，也記為. 容易證明對於中的任意向量成立，這樣得到的這個極限是滿足線性性的，從而對於這個對應的測度而言滿足有限可加，但是這個時候未必有平移不變。
2樓：
不知道對不對。
去乙個可數無限集，比如自然數集
取所有有限子集和有限子集的補集，這不是乙個 sigma algera 但是是乙個algebra，
取比如說 ｛n｝的集函式值是 2^（-n）然後由有限加性拓展到所有有限集，取全集的集函式值是100，然後由有限加性拓展到所有有限集的補集
這個集函式是有限的，有限加的，非可數加的
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