1樓：來自虛空的Xetta
看了那麼多位答主的答案，問題已經很完整的解決了，不過過程仍略顯笨拙，甚至用上了計算機驗證，雖說也有答主靠技巧直接手算得出結果，但缺乏一般性，所以為了讓這個問題的答案更加的完美，本人想到了一種很cool很優雅（霧）的純手演算法，它能直接給出乙個很優美的公式解（迫真自戀）奈何知乎回答框太小。。。啊呸，費大爺是個太監，學數學不費馬，費紙(￢_￢)
正文我們可以這個問題進行如下推廣：
一條長度為1的線段隨機分成n+1段，那麼就有n個分割點，求至少有乙份》m的機率。其中 (讀者們可以先想一想為什麼，答案一會揭曉￢_￢)
想要手算出來，只能定義測度空間用多重積分算了，這點前幾位答主也都說得很清楚了，接下來的就是技巧方面的問題了，由於多重積分的繁複性，直接手算不好觀察它的遞迴關係，所以這裡對目標函式更換一種表法，使其更具一般性。分割點有n個，則有n個自由度，於是測度空間是乙個n維超平面，我們規定這n個自由度必須按照線段從左到右排列，於是它的測度可以表為
需要注意的是，結合的次序是從右到左，經過簡單的運算可以得出結果為1/n!
這裡沿襲其他答主的方法，先算全部線段都首先找出n個自由度的上下限，上限為m這是顯然的。
對於自由度 ，它的下限取決於已被鎖定的前k-1個自由度，而在它之後還有n-k個自由度尚未被鎖定，它們可以活動的區間在 ,於是有不等式
整理得這就是的下限，於是有
結合的次序跟上面的式子一樣也是從右到左，為了方便起見，定義運算元
(注：其實運算元 真正的上界為 , 若 ，則實際上只有最後 個運算元的上限為m, 若n個運算元的上限皆為m，則必 ，故而 )
顯然從觀察可知，每一步執行的積分函式皆為冪函式，於是可以新增指標j進行線性操作
這是進行每一步積分後進行二叉樹選擇的上限值，也是上面那堆繁瑣的多重積分的值
但在此之前，還有一點要證明的是，每進行一步積分操作得出的下限值必為0
再觀察運算元 ，令k=n-j
將下限代入正好抵消所有的項，故必為0
接下來就可以進行愉快的搬磚工作了，直接令j=n，得
用1/n!除，再用1減去它
這就是題主問題的推廣形式解，代入特例驗證，令m=1/n，n=4，得出答案255/256，好的，十分完美，至此我們已經可以確信這棟房子已經蓋好並裝修了，大家也可以取消關注這個問題了。
2樓：Hominid
看著答案猜解法（已知答案是1/256）：
我們知道乙個圓上隨機取3點，連成的三角形包含圓心的概率是1/4。做法是取每一點的對稱點，一共有2^3=8種取法，其中只有2種是包含圓心的，所以概率是1/8*2=1/4。易知三角形包含圓心==三段弧每一段長度不超過1/2。
所以試圖用這個解法猜一下：
在乙個圓上隨機取N個點，對每個點作將圓(N-1)等分的對稱點。假設在這些對稱點中隨機選取，那麼一共是(N-1)^N種取法。在這些取法中有且只有(N-1)種是使得每一段長度不超過1/(N-1)的【這個是猜的】。
所以概率是1/(N-1)^(N-1)。代入3，得到1/(3-1)^(3-1)=1/4。代入5，得到1/(5-1)^(5-1)=1/256。
可以推廣：任意取4個點，沒有一段線段長度長於1/3的概率是1/(4-1)^(4-1)=1/27，等等等
【猜的部分的證明】證明貌似也不難，把5*4=20個點畫在圓上（每4個點為一組把圓4等分），易知在任意1/4長的圓弧上有且僅有5個點。所以需要取的5個點的順序就是在這段圓弧上的點的順序。容易證明有且僅有這一種取法。
根據對稱性，有4種等價的取法（每種就是轉1/4）。這個解法基本上和 @無知的耗子 的解法差不多。
作個圖（以圓上任意取4個點，沒有一段線段長於1/3為例）：
隨便取4個點，假設是紅藍綠黃；
2. 作這四個點對圓3等分的對稱點。易知隨便取一段1/3長的弧，弧上有且僅有4個點；給這些點隨便編個號：
3. 所以將圓分成4份，並且沒有一段圓弧長於1/3的取法有且僅有3種：綠1紅3藍2黃1, 以及另外2種對稱的取法。
4. 因為一共可能的取法有3^4種，所以最後的概率就是3*(3^(-4))=1/27.
3樓：陳辰陽
講個簡單可以推廣一些的方法吧
感覺很多答案沒說清楚，就是隨機分成五份的含義，不想深究的可以直接看後面部分的解答。
取 ,4個分位點記為
記 隨機分成五份這裡應該是理解為,的聯合密度函式 在超平面 是個常數，
但是實際上這玩意是沒有正常的密度函式的，一種解決方法是用狄拉克測度，即
另一種理解可以認為 是[0,1]上均勻分布的順序統計量。
當然這兩種理解是一樣的。其他理解應該也有，只不過我覺得這個事情還是要說清楚
解答：要求長度為1的線段隨機分成n分，至少有乙份大於a的概率。
根據容斥原理， a)=\sum_^(-1)^C_^P(Y_>a,j=1,...,k)" eeimg="1"/>
注意到當 時，
a,k=1,...,i)=\int_>a,k=1,...,i}f_(y_,...,y_)dy_...dy_" eeimg="1"/>
做換元0,k=1,...,i}f_(s_+a,...,s_+a,y_,...,y_)ds_...ds_,dy_,...dy_" eeimg="1"/>
0,k=1,...,i}(n-1)!\delta(s_+...+y_=1-ka)ds_...ds_,dy_,...dy_" eeimg="1"/>
所以 a)=\sum_^C_^(-1)^(1-ak)_^" eeimg="1"/>
實際上從 @bus waiter 的結果很容易看出這個形式
最後結果自然就是0.99609375
4樓：無知的耗子
已經有了利用積分，很標準的解法。以下解法只需要用到排列組合的知識，提供乙個新的思路。（因為在手機上，不會編輯公式，圖也很渣）
同樣，考慮所有線段長度都小於1/4的概率，那麼1減去這個概率就得到了答案。
這五個線段的長度，由切割線段的四個點的位置所決定。因此與其考慮五個線段，我們只考慮這四個點的位置。
為了簡化問題，可以將線段從左到右分成四個長度為1/4的分割槽。若任意兩個切割點在同乙個分割槽，則必然有乙個分區內沒有切割點，也就意味著某兩相鄰點之間距離大於1/4。因此每個分割槽都必須有1個切割點。
如圖所示，A，B，C，D是四個落在四個不同分割槽的四個點。而四個點落在不同分割槽的概率是：4！/4^4。
但是僅僅是這四個點落在不同分割槽的約束性還不夠強。比如說要想讓AB的長度小於1/4，那麼B到其所在分割槽的左端的距離，要小於A到其所在分割槽左端的距離。
為了可以視覺化這個問題，我們將四個分割槽併排擺列，然後將這四個點投影在乙個長度為1/4的分割槽上。
因為投影重合的概率是0，在下面的答案中預設DCBA四點的投影沒有重合。
為了滿足兩點之間距離小於1/4，在投影上，A要在B右邊，B在C右邊，C在D右邊。這樣問題就被大大簡化。
那麼DCBA排列的可能性是多少呢？
假設同乙個投影，交換切割點的名字，比如圖中的點A和B的位置，得到排列DCAB。
而A和B這個名字，代表了切割點所在的分割槽，因此交換名字A，B得到了不同的切割點位置。這樣DCAB並不滿足所有線段距離小於1/4。也就是說對於同乙個投影，對應著的切割點排列的數量等於A，B，C，D這四個名字的排列數量=4！。
而符合要求的排列只有DCBA這一種。
因此，所有線段都小於的概率是：
4！/4^4*1/4!=1/256。
因此至少有乙個線段長度大於1/4的概率是255/256。
5樓：不會物理的zz兒童
我在想能不能用ordered probability解(好像是這個東西？)
具體思路如下
x1,x2,x3,x4為4個0到1區間上uniform的rv，y1,y2,y3,y4為從小到大的這4個值
所以可以構建ordered density=4!f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)=24，也就是f(y1,y2,y3,y4)，求出distribution,第一段長度為y1,第二段y2-y1,....最後一段1-y4
求出每段小於1/4的概率(分別要求y_(i+1)-y_i <1/4)然後1減去乘積就行
沒去算，不知道行不行，不過上面兩個方法沒毛病
6樓：送菜哥
微積分忘記是啥了，
概率學也基本不明白了，
那麼還是要給乙個答案
這個問題是 1 - 5份都大於1/4 - 4份都大於1/4 - 3份都大於1/4 - 2份都大於1/4 - 0份都大於1/4 = 1份都大於1/4
得分吧?
7樓：
在5維空間中0
其中δ(x)為狄拉克delta函式。用mathematica可以求出等於1/24：
Integrate
[DiracDelta[x1
+x2+x3
+x4+x5
-1],,
,,,]
而5維空間中0
用mathematica可以求出等於1/6144：
Integrate
[DiracDelta[x1
+x2+x3
+x4+x5
-1],,
,,,]
因此分五分每乙份都小於1/4的概率為：24/6144=1/256=0.00390625
而分五份至少有乙份大於1/4的概率為：1-1/256=255/256=0.99609375
————————具體計算————————
計算中要利用Delta函式的積分性質：
其中c為任意常數，θ(x)為海維賽德階躍函式。
還要用到階躍函式的積分性質：
具體計算就是一層一層積分：
其中I5為：
帶入有：
其中第一行等號右邊的第一項積分顯然等於1，而I4為：
帶入有：
其中I31、I32分別為：
再帶入……
後面就不具體計算了，輸入公式太麻煩了。總之計算稍微有些繁瑣，但是只要熟悉了δ(x)函式和θ(x)的積分，每一步都是簡單的初等積分。
8樓：
切法不定怎麼確定概率呢？
比如說，一種定義的切法：每一刀切下去要比前一刀切下去的短（長）；每兩刀切下去要求有兩段相同長度；第二刀切下去一定要切總長度刀四分之一
等等。定義了切法才能定義概率
在「一條線段中有無數個點」的這個角度下，所有線段是否都等長？
不咋帝 長度不是用點的數量去定義的。否則會出現這樣乙個悖論 你永遠到達不了某個點。因為要到達這個點，你必須先到達這個點前面那個點，而要到達這個點前面那個點，你又必須先到達更前面那個點.而點是無限的，所以你永遠到達不了任何乙個點。 星河欲轉 當年的題主在此.賬號登出啦無聊想感慨幾句 最近上初一了其實挺...
為什麼在一條線段中，中點到兩端點的平方和最小？
陸小越 從代數的角度這道題是很簡單的，由於涉及到平方問題，如果從幾何方向思考其實也可以。並且很顯然。幾何解釋 如圖所示，不妨設AB L，E為AB上一點，很顯然只有E在AB中間時，才有可能取得最小值，不然E在AB之外的話，是恆大於 的。要求 線段的平方是面積，故可如圖所示擴充套件成平面圖形，圖中四邊形...
如果一條蛇的屬性可以設定為100 不會攻擊你，那你大概要多久可以接受它成為你的寵物？
鄭記節操絞肉機 我喜歡蛇跟咬不咬人沒啥關係，咬我我也養！雖然我蛇也不多才剛100多點，但是我也經常被咬，我都不帶怕的。咬人的蛇說明他健康啊！你養個貓貓狗狗弄生氣了也咬你撓你。蛇只有咬人乙個方式多友好啊。他沒有腳丫子自然沒有爪子，不會刮傷，而且沒有毛茸茸的夏天會掉毛，會熱。夏天摸蛇冰冰涼！多爽！咬人算...