1樓：再見蒲公英
高階題目Problem 588 - Project Euler相關參考https://
arxiv.org/pdf/0802.2654.pdf
2樓：靈劍
問題挺有意思的，也不難證明。由於 ，可以考慮 中包含幾個質因子2，顯然質因子數可以表示為：
雖然我們把它寫成無窮級數的形式，但是實際上它只有有限項，因為j足夠大時後面的項都為0。接下來考慮k的二進位制展開：
，每個 各不相同，則有
原因在於右邊求和的每一項在取整前要麼是整數，要麼是總和不超過1的小數。因此質因子的數量為：
其中I(k)是k的二進位制表示中1的數量。
因此當 為奇數時，我們要求
注意到n = m + (n-m)，當m和n-m的二進位制加法發生進製時，每一次進製都會減少乙個二進位制位中的1（可以通過從最低位逐位做加法來證明，注意到1 + 1 + 0 = 10, 1 + 1 + 1 = 11，都會減少乙個二進位制位中的1），因此只有當m和n-m的二進位制中的1所在位置各不相同時， 才是奇數。用計算機中的位運算也可以表示為m & (n-m) == 0, 或者 m & n == m。
將n中的二進位制位分配給m和(n-m)，有 種分配方法，因此就有相應數量的奇數。
題目中的分布圖也是很容易解釋的，自相似是因為 ， ， 和 有完全相同的奇偶性，而 永遠是偶數，考慮 時的圖形，實際上就是 時的圖形長寬各放大一倍，然後隔行填充一些洞進去。
3樓：
Lucas's theorem - Wikipedia
Lucas定理告訴我們, 組合數 是奇數當且僅當在 和 的二進位制表示的每乙個數字中, 的數碼不小於 的數碼.
換言之, 設 , (位數不一致的話用 補足). 是奇數當且僅當對一切 , .
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