1樓：fuyuki
來乙個簡潔清真的解釋，只能解釋為什麼異或運算是正確的。
如果現在有 ，根據sg函式的定義，先手現在只又兩種選擇：
使某乙個變數變大或使某乙個變數變小。
如果先手選擇將其中乙個變數變大：
那麼根據SG函式的定義，後手也必然能將該變數的值改回之前的狀態。
如果先手選擇將其中乙個變數變小：
假設先手將其中某乙個變數 改成 ，那麼後手一定能找到乙個 ：
設 第 位為1，修改成 ，那麼有。
這樣因為 x_i'" eeimg="1"/>， 的最高位1一定來自 。
而所有變數的異或和為0，那麼就一定存在乙個 使得 在的最高位1處取值為1。
綜上所述，後手一定能找到乙個 ，使得修改成 滿足 。
既然這樣，那麼後手一定能找到一種方式使得這一回合結束後先手面對的局面總異或值為0。
而在先手操作完之後，因為 ，後手面對的局面一定非0，也就是必定存在乙個非0的子遊戲允許後手繼續操作，後手一定不敗。
因為遊戲一定會結束，且後手不敗，則先手一定必敗。
若,必然可以找到乙個 包含 的最高位1，那麼如果設該位為 ，那麼一定能找到乙個 第 位也是1。
所以先手面對非0的局面一定可以將當前局面變成0。
這樣子，全域性的異或和依舊滿足SG函式的性質：為0就先手必敗，非0就先手必勝。
所以，可以使用異或來計算SG函式。
2樓：王贇 Maigo
王贇 Maigo：10170 Sprague-Grundy定理是怎麼想出來的
其中與本題有關的是第五節。簡要來說，「異或」運算的發現，有這麼兩條線索：
用一些 SG 數較小的狀態作為例子，觀察發現狀態的組合對應著 SG 數的異或；
提煉出狀態組合的四條性質：交換律、結合律、歸零律、恒等律，而異或運算也具有這四條性質。
然而這些都只是「線索」，最終還是要用數學歸納法去證明狀態的組合對應著 SG 數的異或。
至於說異或的意義，我至今也說不出來。但如果把視角侷限到 Nim 遊戲上，我覺得 @御阪鳳蝶 說的「平衡」有道理。
我的專欄並沒有用到群論的知識，本題下幾個涉及群論的回答我也沒有看懂。不過也許必須用群論才能揭示異或的意義呢……
3樓：御阪鳳蝶
上面那些玩意兒咱乙個新手完全看不懂.....
剛剛接觸ACM，因為對遊戲方面的題有興趣，研究了幾天，發表一下簡短的拙見，希望知乎大神指正。
（啊這個編輯器好難用） 異或運算是二進位制數的運算，若參與異或運算的兩個數相同的二進位制位的值不同，則該位運算結果為1，否則為0。對於nim遊戲進行一整套的異或運算，其實是在判斷遊戲在開始時是否處於乙個所謂的「平衡」局面。若平衡（全部異或下來的值為0），則對於經典的nim遊戲勝敗判定（無法行動的人負），先手必敗，反之，不平衡（大於0）則先手必勝。
「平衡」局面的判定是二進位制層面的，這裡具體化的來說，就是把nim遊戲中的每一堆硬幣（或者木塊石子什麼的）按堆一字排開，再按照二進位制的規則擺放，即從右到左按照1,2,4,8….這樣的規則放置，比如一堆3個，就從右到左能擺成1，2這樣的局面，5則能擺成1，空，4這樣。說起來比較晦澀，可以自己擺擺看。
對於每一位，如果所有堆這樣排開之後，這一位（列）上非空的個數是偶數，則說這一位（列）是平衡的，如果所有位都是平衡的，則說這個nim遊戲局面是平衡的。
嗯，這就完成了第一步，把具體的nim遊戲轉成二進位制運算，把堆內的硬幣數轉成二進位制後1就相當於這一位是有所擺放的（不是很會描述這個，5個硬幣從右到左擺出來是1，空，4，而5的二進位制是101。3擺出來是1,2，而3的二進位制是11，言辭淺薄甚是抱歉，請諸位意會）。一次異或運算就是在計算每兩堆的局面是否平衡，n次異或運算就是在計算整個局面是否平衡，平衡的局面算出來絕對是0。
至於「平衡」狀態與勝敗的關係，則是面臨平衡局面的人任何操作都會打破平衡，面對不平衡局面的人所能採取的最優操作就是維持平衡，維持到最後，就能主動營造必勝局面。
擴充套件到sg函式，sg函式是一種把乙個大遊戲拆成n個符合nim規則的小遊戲，連續sg異或就是判斷整個大遊戲的局面是否平衡，從而得出勝敗。
4樓：MFW
考慮乙個有向圖
先手必勝：1；先手必敗：0
結束局面0
後繼狀態存在0，則當前狀態為1
後繼狀態不存在0，則當前狀態為0
考慮歸納法：
1. 最終狀態異或和為0
2. 對於任意乙個必勝態（異或和不為0），存在乙個必敗後繼狀態（異或和為0）
3. 對於任意乙個必敗態（異或和為0），不存在乙個必敗後繼狀態（異或和為0）
提到澳門，你會想到什麼？為什麼？
南風過境 我會想到 大三巴 會想到中葡特色建築，會聯想到 澳門風雲 背後造就的超級大富翁，也會想到特別好的教育醫療體系，也會想到 一國兩制 在澳門獲得的巨大成功！ Holyhigh 如果旅遊的話會想起賭場跟標誌性建築，整體澳門給我的感覺就是挺舒服的，雖然跟香港一樣人特多，本來就小小的地兒，擠了不少人...
為什麼總會想到死這件事？
我從18年10月開始想到這個，結合我自身的角度分析這個問題。你的生活中應該是碰到重大損失，或者發生很後悔的事情，這個事情是原本可以避免但因為細小原因發生了，這些許原因跟你最親密的人有關，你打不得罵不得的人。2.你的生活除了機械內容沒有其他嚮往，你最內心的事情沒有人分享，或者本該分享的人卻不能了解你，...
賈伯斯當初為什麼會想到投資 Pixar ？
楊堅 當時Jobs感興趣的還是硬體，包括NeXT 教育科研市場 和收購Pixar 高階圖形處理計算機 After Steve had capitalized the spinoff of the animation unit from Lucas,he began to realize that n...