1樓：GAGA
把原有的域叫K，現考慮K上的有理函式域K(X)，上面有自然賦值v: K(X)—>Z
f/g—>degf-degg
誘導乙個絕對值: f/g—>exp(-degf+degg)
K上假若已有絕對值（比如K=Q,Qp,R,C）
則可以定義K(X)上的秩2 絕對值如下:
|f/g|=|f|/|g|, |f|=|c|*a^degf 其中c是f最高次項係數，|c|是K上的絕對值，a是無窮大或者無窮小，那麼x就可以認為是1/0或0/1（不嚴格的）（因為|x|是無窮大或無窮小）。
這種秩2 絕對值有何意義呢？我們考慮K已有絕對值的情形，K[X]是多項式環，假定K區域性緊，K[X]對B(a,r)即以a為圓心，r為半徑的閉圓盤上的Sup範數可以做完備化得到區域性上的Ka,r，並且具有K-Banach代數結構。其極大理想空間可以看出對應於B(a,r),（假定K代數閉）若絕對值是非阿基公尺德的，該Sup範數可以稍微修改一下定義化成乘性的。
現在考慮r—>∞絕對值的變化，會發現原本秩1的Sup(a,r)會自然變動到之前所述秩2 絕對值，亦即，單獨的秩1的絕對值描述不了K[X](回憶泛函裡證明了多項式環不可能是K-Banach空間)
原因也很明確，因為K[X]上本質有兩種絕對值，一種是賦值，一種是K上原有的結構。
最後可以總結一下，擴充套件出的「數系」中1/0需要給乙個合適一些的定義，即多項式環K[X]中的未定元X，如果想做除法，就再取個分式域K(X)即可。
2樓：Jerry Li
那不叫新的數系，那叫空間的緊緻化，是乙個幾何模型。
簡單來說，實軸 加上1/0可以賦予乙個自然的拓撲，使得它同胚於乙個圓周，因此是緊緻空間。復平面 加上1/0能變成乙個球面，也是緊緻的，通常叫它「復球面」。
這些空間可以給它們再賦予一些流形結構，即在它們每點處確立乙個區域性座標系，或者說是用若干個帶座標的區域(簡稱「座標圖冊」)去覆蓋整個空間，當然區域重合的地方兩邊的座標之間可以不一樣，但得有個相容性轉換，這個轉換是由乙個歐式空間之間的雙射給出的，且這個雙射的可微性就確立了這個流形結構的光滑程度。等等諸如此類的概念，我暫時就不扯遠了。
乙個比較常用的模型就是射影空間，比如說 ，它就是在上述「 」空間上賦予這樣乙個座標圖冊：在 上座標和 一樣，在0以外包括1/0的區域取倒數座標（所謂賦予座標，其實就是給出這個區域到 中某個開集的乙個同胚對映）。當然 還有別的描述，比如，在平面 上取乙個單位圓周，並且對這上面的點來定義乙個等價關係（對徑點相互等價），然後 就定義為全體等價類構成的空間，它的拓撲結構可由 來誘導，流形結構則是先在這個圓周上確立（分成4個半圓，座標取x/y或y/x），再作商給出，可以證明它和上面的「 」在光滑同胚的意義下是一樣的，具體我就不多說了。
此外不難看出， 恰好刻畫了平面上過原點的直線全體。
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