1樓：李辰星
這道題的題幹是我出的，其實是 Conflux 兩周年活動的一道有獎回答的題，沒想到被人發到了知乎上。此題的原始鏈結在下面，時間是 2020 年 7 月 15 日下午 6 點， 知乎問題日誌的提問時間是 7 月 16 日早上。
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另外，我們注意到有人將知乎的回答未加引用地作為活動答案提交到了 Conflux 後台，Conflux 的運營團隊後續會進行相應的處理。
知乎提問最初的分類居然有小學奧數，顯然是被題目可愛的外表矇騙了。這道題改編自 2018 年姚班課程《計算機應用數學》中的一道題。需要用到母函式，復變函式等相關的知識。
設 表示 顆糖的吃法，那麼我們不難得到遞推式
其中 定義數列 如下
則對偶數項，有遞推式
構造數列 的母函式
注意到則有
因此考慮定義在復平面上的函式
容易解出， 當且僅當 或 .
對 ，我們定義 ，.
則函式 的所有奇點為 .
下面我們說明這些奇點都是一階的，並計算留數。注意到，
由於對任意 , ，所以第二項的分母是非0的，因此第二項為0.
對於第一項，我們有
對於 點的留數，可以使用相似的方法計算。最後，我們可以得到
定義函式
則函式 的全部奇點是 和 0.
我們計算各點的留數
(注： 是 的 次項)
由於 ,
考慮由 四條直線圍成的矩形，設矩形逆時針方向為路徑 .
對任何乙個在曲線 上的點 , 我們有
當 時，
當 時，
因此 .
因此對任何乙個在曲線 上的點 ，有
那麼根據留數定理，我們有等式由於.
因為 ，所以
因此即 的漸近表示式為
.由於則 的漸近表示式為
2樓：cyb醬
在小學二年級的時候我們就學過 , 數數會用到復分析 . 這種奇妙的魔法其實也是解決很多類似的組合問題階的通法 .
這是一根魔法棒
需要指出的是 , OEIS並不是萬能的 , 對於很多比較新的或者偏門的數列 , 其不一定會收錄 , 而且對於一些成體系的問題 , OEIS上可能有人不加證明地指出一些結論 , 比如這個問題的階的公式就沒有給出證明 .
咱直接計算階 , 只需使用一些簡單的analytic combinatorics小技巧, 按照傳統 , 我們設 表示 顆糖果的吃法數 , 如無特別強調 , 下面我們始終在復平面 上考察EGF生成函式 ( 證明其實沒有什麼技巧性 , 就是簡單用數列遞推和歸納法 , 留給讀者作為習題 )
根據簡單的復變函式知識 , 我們知道當且僅當 的時候 , 在那裡是乙個奇點而沒有定義 , 在其餘點處 始終是全純的 . 對 求導 , 得到 , 因為 , 因此 時不可能有 , 由此推出 , 所有的奇點都是一階極點 .
我們發現離原點最近的奇點是 , 到原點的距離正是 , 第二近的四個奇點是 , 它們的到原點的距離有點遠 , 為 6" eeimg="1"/>.
於是如果我們取出主部 再設 , 那麼 在 內將會是全純的函式 , 於是根據柯西圍道積分公式 , 的 係數可以按下面的公式確定 , 其中 是圓心在原點 , 半徑是 的逆時針圓軌道 :
我們的任務就是對 在 上進行估計 , 求助於 Mathematica 我們得到 :
隨便放縮一下 :
結合 最後我們終於得到了 :
這就很好地解釋了為何前幾項距離整數這麼接近 , 因為 在 很小的時候確實小得可愛 :
最後我們做點數值計算 , 看看真正的兩者誤差是多少 :
其實當 充分大的時候 , 兩者的差顯然不可能保持在乙個常數量級qwq .
3樓：謎之槍兵X
對付這種題我一般就是用OEIS法。OEIS法分為兩步：
對幾個小的特殊值求解。
n=1時，方法數顯然為1。
n=2時，第一天有AB、AC、AD、BC、BD、CD、ABCD七種吃法，對前六種來說第二天就只能吃剩下的，方法數為7。
n=3時，第一天吃兩顆有15種選法，每種對應第二天的7種，共計105種；第一天吃四顆有15種選法，每種對應第二天的1種，共計15種；第一天吃六顆只有一種選法；合計121種。（由此可得遞推式： ，並令 ——實際上0顆糖果也確實只有1種吃法，就是「不吃」或者說「剛開始就已經吃完了」。
）n=4時，代入遞推式，共有121×28+7×70+1×28+1=3907種。
n=5時，共有3907×45+121×210+7×210+1×45+1=202741種。
拿這幾個數值（1,7,121,3907,202741）去https://oeis.org檢索，立即可得A094088「指數生成函式為 的數列（僅取偶數項）」，或者說白了就是 在0處的各（偶數）階導數組成的數列。
該數列的頁面上給出了和上面的遞推式一樣的遞推式，因此可以確定確實是同乙個數列了。此外，頁面上還給出了近似式「 約為 」；驗算一下，此式在n=1、2、3、4、5時約為1.0111、6.
9955、121.0037、3906.9952、202741.
0084，準確度還不錯（而且目測和真實值的偏差總在0.1以下（UPDATE：並不，偏差也會階乘增加），因此與真實值的比值大概也確實收斂到1（UPDATE：
這倒確實））。欲知詳細步驟的話，OEIS都給出了參考資料或可聯絡的使用者，也可以看一下。
前人栽好了樹，後人不乘涼白不乘涼嘛。
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