1樓：古水
古代能用上立體幾何的不外乎建築、河防、糶糴、庫管、天文，這些領域的書中多多少少會涉及立體幾何的內容，各代籌人都有此類著作留下，比如最出名的劉徽《九章算術》，還有王孝通《緝古算經》、朱世傑《四元玉鑑》等。下面以《九章算術》為例：
劉徽《九章算術》中記載了很多體積解法，比如少廣篇第十九問用到的「開立方」法：
今有積一百八十六萬八百六十七尺。（此尺謂立方之尺也。凡物有高深而言積者，曰立方。）問為立方幾何？
答曰：一百二十三尺。
……開立方（立方適等，求其一面也。）
術曰：置積為實。借一算步之，超二位。（言千之面十，言百萬之面百。）
議所得，以再乘所借一算為法，而以除（再乘者亦求為方冪，以上議命而除之，則立方等也。）
除已，三之為定法。（為當復除，故豫張三面，已定方冪為定法也。）
復除，折而下。（復除者，三面方冪已皆自乘之數，須得折議，定其厚薄耳。開平冪者方百之面十，開立冪者方千之面十。據定法已有成方之冪，故復除當以千為百，折下一等也。）
以三乘所得數置中行。（設三廉之定長。）
復借一算置下行。（欲以為隅。方立方等未有定數，且置一算定其位。）
步之，中超一，下超二位。（上方法，長自乘而一折，中廉法，但有長故除一等。下隅法，無面長故又降一等也。）
復置議以一乘中（為三廉借冪也。）
……【略】
「開立方」指已知乙個正方體體積，求其稜長，實際上就是求解立方根。具體思路是：
比如解答第十九問：
「積」，即被開方數為1860867，則 可以被分割為a+10b+100c等。
《九章算術》還記載了「開立圓術」，用於計算球體體積。古代稱圓形為「圜」或「平圓」，稱球體為「丸」或「立圓」。
開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。
即 劉徽對這個「開立圓術」有所懷疑，並提出自己的想法，即「牟合方蓋」（牟，通「侔」，相同之意。蓋，圓蓋。）劉徽找到了正確的球體積演算法思路，但並未給出證明。
立方斜剖「立方」可以得到兩個「壍堵/塹堵」。
壍堵「壍堵」是指兩底面為直角三角形的三稜柱。沿著BCD'面斜剖「壍堵」，可以得到乙個「陽馬」和乙個「鱉臑」。
陽馬「陽馬」是指底部方形，一條側稜與底面垂直的四稜錐體。
鱉臑「鱉臑」是指四個面都是直角的錐形體。
方亭正四稜臺稱作「方亭」，豎著切去方亭兩個邊角塊，把它們合在一起是「芻甍」。
芻甍「芻」是用草製成的，「甍」是屋頂，草房房頂就是「芻甍」。
芻童「童」就是削去頂部，切掉「芻甍」的頭部，便是「芻童」，即平截楔。
此外，還有「羨除」、「方堢壔」、「圓堢壔」、「方錐」、「圓錐」、「曲池」、「盤池」、「冥谷」、「阬」、「三角垛」、「四隅垛」等一堆專業名詞。
羨除方堢壔（正四稜柱）
圓堢壔（圓柱）
方錐圓錐
圓亭曲池
盤池（倒過來的芻童）
冥谷、阬（溝）
參考書籍
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1、白尚恕《九章算術注釋》，科學出版社，2023年
2、吳文俊、李兆華《中國數學史大系》第四卷，北京師範大學出版社，2023年
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