1樓：IIA1900
「虛數的存在支援著現代物理學」——佚名1.光的折射率在初中我們學過「折射率」（介質中的光速/真空中的光速），但是你知道物理學上還有 「複折射率」嗎？（觸及知識盲區）。
複折射率不僅能體現光折射，還能顯示光被吸收的效果。複折射率的實部就是傳統意義上的折射率，虛部則表示的是光被介質吸收的部分。在物理學裡，常常在計算時使用複數去表示波和振動，然後在取結果時只保留計算結果的實部。
複折射率 = 通常折射率 — i x消光係數2. 超光速粒子快子的質量（靜止質量）為虛數（理論問題我就不解釋了~）
3. 量子力學的基礎方程式：「薛丁格方程」（如下圖）遇事不決，量子力學~
嗯，假裝自己看得懂~
4.揭示了三角函式和指數函式的關係被譽為「世界上最美麗的公式」——尤拉公式：
（罕見！震驚！0 , 1, e，π，i數學界五巨頭居然聚眾.......）
推薦這期雜誌，應該會對你（至少對我)認識虛數有很大幫助~~
2樓：
其實還可以有一種理解，我記得有人曾表示不應該把複數當成什麼實際存在的東西，而是一種滿足某種運算關係的有序數對(a,b)，這個觀點肯定不是歷史上引入複數的原因，但我個人認為確實可以作為一種引入複數角度，而且從這種角度可以對複數進行很自然的推廣…
3樓：C.Jie
很多實係數的一元多項式方程在實數域內沒有解，這麼說或許有點牽強，沒有解就沒有解唄，但你去解很多高次方程的時候是判斷這個方程到底有沒有實數根的，那還不如讓它們都在乙個更大的域裡有根，然後再去判斷這個根是不是實數根就行了！並且複數並不是不存在的抽象東西，最早在卡當在解三次方程的時候就算根是實數根，它也會有乙個包含了虛數i的形式,所以你只要去解高次方程，出現虛數i是很自然的！
我們知道複數域C是實係數多項式R[x]/(x^2+1)的理想後生成的域，也就是把方程x^2+1的根i新增進來，使得所有的複數都可以寫成a+bi的形式，這樣複數域是包含R的最小的代數閉域，所有的多項式復多項式在複數域內都會有解，這是非常優美且有用的乙個性質，它使得定義在複數域上的解析函式有著實函式所沒有的結構，黎曼-柯西方程背後有一整套復分析的技術，以及工程上常用的傅利葉變換，拉普拉斯變換等非常有用的工具，而這些最基本地都建立在複數域是代數閉域上，這些結構和性質是實數域沒有的！
複數不是虛構的，很多物理上用的數學也是建立在複數域上，比如量子力學裡的態就是復希爾伯特空間的元素，可觀測量是稠定的自伴算，子薛丁格方程裡也包含了虛數i，描述波的波動方程的解也有著e^i(k.x-ωt)的形式，i也會自然地出現，二次量子化需要用到傅利葉變換，最後的形式裡也有i,以上的種種都說明了，自然界的結構裡已經包含了i這個特殊的元素，我們人類沒有發明它，它是自然出現的！
另外引入複數隨之而來的就是與其相伴的復結構，這也使得復代數簇，復流形等數學物件相比實流形，實代數簇等有著更加優美的性質，當然要有復結構要求更高，至今像S^6這種簡單的流形上有沒有復結構都是乙個開放性問題！
4樓：jRONI
以下答案主要寫給我自己備忘：
是對實數域新增 擴域得到的代數封閉域
構成Galois擴域，複數域為 維實空間
複數作為線性空間的自同態環，其矩陣表示是矩陣環
以上自同態環在乘法monoid中提取可逆部分，構成各種Lie群，單位圓上
週期為2的反自同構，構造了*-代數中的對合，在復共軛下構成*-代數，其中的自伴元就是實數
一般性的*-代數中的譜分析，相當於把運算元代數中的運算元簡化到 上
複數在(3)中的實矩陣表示，也構成*-代數，其對合運算就是矩陣轉置，相當於線性空間範疇中的伴隨運算元
線性空間範疇的自伴運算元，對應了(5)的自伴，具有實數的譜，這是泛函分析譜定理的核心思想
(5)和(8)的實數，反應了伴隨/對合運算的不變性，這種不變性反應到(2)的擴域中，得到Galois群，其中非平凡的群元就是(1)中的
擴域在子域上的不變性，對應了群作用下的不變子模，和各種上同調技術
表示為非平凡的自同構，具有最簡單的辛結構，可以產生代數和辛幾何
複數還是最簡單的復結構
想到再補充
5樓：Patrick
我覺得數學構造都是對映過來的，本來就是水中的月亮。並不覺得有實體可言，存不存在只在於你對抽象概念存在的認可與否。
複數也只是逆運算數系擴充平凡的一員而已。
從自然數也是為了數數引入的非實體虛構物件，接下來為了逆運算閉合，加法逆來了來了負數，乘法逆來了有理數，次方逆來了複數。
6樓：有形的翅膀
首先，複數是客觀存在的，我來從兩個角度給出理解吧，複數的矩陣表示，直觀地給出複數作為實二維空間的表示，本問題課代表（手動狗頭）黑怕老師有提到過；
，域擴張經典操作，多項式環模極大理想得到域。
其次，復變函式真香（不甚了解，可參其餘答主們答案）
7樓：msoec
我問你，12+1等於幾？
如果你盲信小學老師說的前小後大不能相減，那就只能利用加法的交換律繞個彎子，把順序換成1+12才能算出是0來。
如果有負數，那就可以直接算。
那複數有什麼用呢？我問你，x1如何分解因式？很多人可能只把x1提出來，剩下的x+x+x+x+1就不知道怎麼整了。
我們將複數域C構造為R/+1。它的意思是實數上以為變數的多項式，但視任何+1的倍數為0。這就是我們熟悉的那個複數。
途中引入複數也可以輔助實數上的分解。其實分圓式在複數上最容易分解了，x1直接就是∑(xcos(2πi/n)+·sin(2πi/n))。但這樣得出的是乙個實根1還有((√51±√(10+2√5))/4、 ((√51±√(102√5))/4這兩對虛部相反的復根。
好在複數上每一對虛部相反的複數剛好構成完整共軛類——共軛類就是保持基本域的自同構對映的軌道，而複數的基本域是實數，唯一非平凡的自同構對映就是虛部取相反。共軛類的特點就是所有元素的和與積都剛好在基本域裡。
於是我們就知道，x1除了x1乙個線性因子以外，還有兩個不可約的二次因子，分別是
(x(√51+√(10+2√5))/4)(x(√51√(10+2√5))/4)
=(x((√51)/2)x+1)
與(x(√51+√(102√5))/4)(x(√51√(102√5))/4)
=(x+((√5+1)/2)x+1)。
你看，有了複數，實數上的問題也好解了。就好比12+1雖然最後結果還是正的，但允許途中出負數就舒服很多。
8樓：
就是數學發展到那一步就引入了唄
最早人們研究三次方程，發覺部分求根公式本來可以求實根，運算中途卻出現-1的平方根。有好事者就索性去研究i的運算規律，結果卻得出了許多實數也可以使用的公式定理，所以大家就都承認有這東西了
9樓：何日歸期
有乙個比較有名的例子。
就是圓的十七等分問題，當時的解法就是求十七等分點的座標，然後接住複數就可以理解成:
x∧17=1 的十七個解。
想想也是蠻奇妙的。
10樓：aluea
不請自來
舉個最直接的栗子，有些方程沒有解，x^2=-1。
而數學不存在"沒有解"，只存在"限定條件下的，沒有解"。
11樓：我妻由奶
我來個概括的：任意係數為實數的有限次數一元多項式的解，都是複數。
也就是只要引入乙個i，不需要根號i，就可以表示所有多項式的解。
12樓：墨子連山
最初就是因為解一元三次方程的過程中，出現了對負數的開方，但最終這一項可以被消掉，得出的解還是實數。
這就不好辦了。
一元二次方程出現了負數開方，你可以說他無解，但是一元三次方程明明有實數解，只是過程中出現了負數開方，你總不能說他無解吧？
所以，就引入了複數概念i。
一開始，大家認為i只是過程的中間產物，本身沒有任何意義。
但是後來複數這玩意大家用順手了，三次以上方程求解經常用。
再後來，三角函式也用上了。
以至於尤拉還給出含i的上帝等式，即尤拉公式。
即便都把i用到上帝高度了，尤拉仍然不承認i有任何實際意義。
再後來，還得是高斯他們發現實數乘以-1，相當於圍繞著實數軸的原點，旋轉了180°，落在了對稱的另一端。
而-1是i*i，也就是乙個實數乘以兩次i，旋轉180°，那乘以1次i呢？當然是旋轉90°了。
於是大家終於找到了i的意義，相對於實數軸，他是另乙個維度。
有了複數，原本的一根軸就變成了直角座標系。
於是，複數就把平面幾何與代數以及向量運算這三者聯絡起來了，神奇不神奇？
在此基礎上，又發展出了一種以複數作為變數的函式，於是各位理工科同學就有了他們所摯愛的一門課，《復變函式》。
偉大的《流體力學》中，復變函式是必不可少的工具，所以同學們永遠也離不開他們的摯愛了。
更神奇的是，人們發現復變函式還可以用來研究素數分布，當然這兩東西是怎麼聯絡起來的，我還沒弄明白。但是可以確定的是，人們在這個領域已經研究得很深入了，還產生了乙個專門的分支，《解析數論》。
於是，不論是代數、幾何、數論這些純數學，還是流體力學、彈性力學這些應用數學，處處都是複數的影子，虛數一點也不虛！
13樓：soham
3-5沒有答案怎麼辦？引入負數
3/5沒有答案怎麼辦？引入小數
3**0.5沒有答案怎麼辦？引入無理數
(-3)**0.5沒有答案怎麼辦？引入虛數複數出來以前，數學就是一根直線，所有問題只能在這根直線上找答案。
有了複數，數學就是個面。答案在面上找。
如果還找不到答案，那就用線性代數，去更高的維度裡找答案。
14樓：瑟瑟
說乙個文科生能懂的答案，題主提到實際作用，其實真的就有實際作用如果以電阻阻值定為實數，那麼我們用虛數表示電容和電感的阻抗乙個元器件的阻抗就是由實數與虛數的和來表示直流電部分和交流電部分對應實數域和虛數域，在交流電和訊號傳輸中虛數部分的阻抗特性是不可忽略的
只有這樣才能準確研究訊號的傳輸
環繞家中一周，你的電視機，電冰箱，遙控器，包括提這個問題的手機，都是各種複數
一節習題課可以把工程問題轉化為數學問題
但數學問題聯想到工程問題起碼需要:
《高中物理選修3-1》《電路》《模擬電子技術》《高頻電子線路》《數字電子技術》《訊號與系統》《數字訊號處理》太難了
請問複數在數學中的理論意義和實際意義（有什麼實際應用）？
梁任傑 個人理解，複數就是乙個工具，用於解決現實中的問題。就像分數解決人口問題一樣。Complex Numbers in Real Life 重點翻譯如下 現實中的數量，用複數描述比用實數描述更自然。雖然現實中的數量，大多數是用實數描述的，但如果通過複數，可以得到更好的理解。人們總是在尋找第一點中的...
為什麼在數學教育中輕思維重技巧？
Nerd Keyboard 邏輯推理是基礎中的基礎，講起來很少人能相信或者理解。但是運用挺廣泛的，就比如如何證明程式能夠跑出正確的結果，如何證明明天下雨的概率是70 對於這些問題都有著自己的捷徑，但是並非普適的邏輯觀念。大概在現實裡，有限的時間內要解出乙個問題，這些捷徑比基礎邏輯更有價值些，而基礎邏...
物理中為什麼要引入位移的概念？
假設你旁邊有顆地雷，如果你只計算路程，有可能繞個圈子又靠近地雷 雖然路程走了很長 如果有位移這個概念，你就可以判斷離地雷有多遠，距離是否足夠安全了。 章魚喵 沒啥，其實就是給出位置資訊。我們描述力學體系，希望知道的是在任意時刻質點的位置資訊嘛，有了任意時刻的位置資訊就可以完備的知道這個質點的所有運動...