1樓：得一學究
這是乙個老話題，卻似乎常聊常新。原因還在於黑格爾那句老話，人是天生的形上學家，他們直覺地太看重把事情「說通」，而其實把事情「做通」才是更重要的。說通，是語言邏輯的重任，但數理邏輯關心的卻是做通。
p->q，語言中是要用p得到q，數學中則不然，可能p根本不存在，根本不存在由p得到q的問題，但卻要求p->q形式地存在。這時你不能從語言角度去糾結p->q究竟是什麼意思，它沒有什麼意思，它就是數學上一種形式性的或構造性的要求，有了它推導或運算的過程才能進行，事情才能做通。，羅素清楚指出這個所謂的蘊涵，其含義不是來自自然語言，而是由其規定的運算或賦值規則本身來定義，這些規則規定才是這個所謂蘊涵的實質，因此它叫做實質蘊涵。
2樓：華天清
蘊含只是乙個運算子，不要去過多解釋p和q的意義，兩者可以沒有任何關係，只要是兩個命題，就能拿來做蘊含運算。如果非要看這個運算子的應用場景，其實在數學中有很多定義用形式化表示的時候就會用蘊含。因為p為真的時候q一定也為真，才能算出來乙個結果真。
那麼翻開書，找個例子看，比如，函式滿射的形式化定義，都會用到蘊含來定義
3樓：Homer Hu
題主知道集合中包含的定義嗎？
對於集合A，B，AB當且僅當x∈A，x∈B(或者說命題P(x):「若x屬於A，則x屬於B」對於任意x為真)。
那麼問題來了，我們應該都承認對於任意集合S，S。這意味著命題「若x屬於，則x屬於S」對於任意x為真。然而沒有任何x是屬於空集的，所以前提(x屬於)就一定是假的，而原命題(等價於S)卻總是真的。
也就是題主問的蘊含關係
本質上題主說的這種蘊含關係就是一種數學上的約定，方便我們處理類似S的問題。就像0這個數字一樣，最開始是不顯然的，我們完全可以不要它就可以數數(用自然數)，我們引入0只是為了方便數學的發展。這個問題也是一樣，只能努力試著去接受大家約定俗成的東西，至少經驗上證明它是很好用的。
4樓：MAN
當p為假時，p→q一定成立；當p為假時，p→非q也一定成立。問題是這兩個能同時成立嗎？
形式邏輯裡，p→q只是並列關係，而沒有因果關係。p或者q、p或者非q
值得注意的是：因果關係一定是並列關係、但並列關係不一定有因果關係。
5樓：了不起的蓋茨比
1.要判斷A→B的真假，就是要判斷「非B→非A」的真假。
這是很好理解的，我們要想證明A能推出B，只需證明非B一定能推出非A。
2.如果B真，那麼A→B一定真。
結論:由2，如果非A真，則「非B→非A」真。而非A真意味著A假，「非B→非A」真意味著A→B真。
因此，若A假，則A→B恆真。
6樓：EdgeOfSun
大部分的回答都說真值表出發, 但是還沒說的點子上.
數學中只允許三種情況.
A:假→真(允許)
B:假→假(允許)
C:真→真(允許)
D:真→假(禁止)
這樣做的原因是數學是公理化體系, 最開始的公理是正確的. 這就意味著只要保證CD是合法的.
公理化體系推導出得所有數學命題都是正確的.
真→假如果允許會導致公理化中出現非真的命題. 所以被禁止允許AB是因為我們認可反證法.
我們把假命題P認為是真的, 那麼命題P的推論都應該是正確的, 如果我們得出假的命題, 說明命題P就是假的(因為ABC中只有B是符合的). 換句說也:非P是真的(排中律).
也就是我們從假的命題中得到乙個真命題. 我們允許A才能有我們的反證法.
所以你可以從矛盾的體系(假命題)中推導出所有的命題:真命題和假命題. 也就是你說的若 A 不真，則 A→B 總是真的.
7樓：Captain 賀
舉個例子:
如果 ，則 。
我們的直覺是，這個命題對於一切 來說都是對的，即是，對於一切 ，只要 ， 就是對的。
但問題是變數 並不一定總是等於1，假設我們說當 時，命題 不對，就感覺很奇怪。為了使這句話的正確性跟 的實際值沒有關係，規定如果 時， 還是對的。這樣， 是對的。
8樓：在路上
命題邏輯推理
A→B，是乙個命題，如何判斷命題的真假呢？
A真，B真，命題真
A真，B假，命題假
A假，B真，命題真
A假，B假，命題真
不管條件與否，結論真，則命題必真。
若A不真，A→B必真
這樣理解：前面說了結論真，命題真，這裡還有一種可能是結論不真，又由於條件假，結論假，命題必真
綜上所述，A假，B可真可假，則命題必真。
此外，蘊含條件裡面，A→B等價於非A或B，若A不真，則非A為真，那麼非A或B就為真（因為或的情況有乙個為真命題就為真）
9樓：蘿莉賽高flamingo
呃，看了下其它人的回答，真是汗顏，本來乙個簡單的問題，為什麼搞得那麼複雜，很多還是錯的。
【若A不真，則 A→B 總是真的，】這個其實是為了把A->B的真值表填滿而定義的，本來沒有實際意義！
打個比方，A：下雨，B：地濕了。
以我們的常識可知，下雨會讓地溼了，A->B是成立的，但是現在我們把常識丟掉，在下雨前，並不知道地會不會溼。
於是當A為假，即不下雨時，我們是不知道下雨會不會造成地濕，也就是說，這個時候不能說A->B為真。
但是！我們同時也不能說A->B為假，因為我們還什麼都不知道。
可是這就麻煩了，不知道是真還是假，那麼真值表中A->B的值怎麼填？
總不能填個（？）上去吧，因為我們規定真值表中只能填T，F。
T，F選乙個，你選哪個？
如果選F，你就斷絕了A->B成立的可能，你憑藉不下雨，有的時候地會溼，有的時候地不會溼，從而斷定了下雨跟地溼沒關係？
地濕了，也有可能是灑水車灑的，你不能因為上面的理由認為下雨不會導致地濕。
F不能選，那就只能選T填上去了吧。
所以我們約定，當A為F時，A->B一定為T，這裡其實沒有什麼現實意義，只是為了合理地填滿真值表。
至於A->B到底成不成立，不看A=F時的上面兩項，而是看A=T時，B是否等於T，若是，則A->B，反之則不蘊涵。
所以，當看A->B是否成立是，就看A為T時，B是不是為T，不管A為F的時候。
如果覺得有幫助，隨手打個賞唄，碼字不易。
10樓：郭宇
先上結論：在經典主義邏輯框架下，把 理解成 "if p then q" ，或者」如果 p，那麼 q「 （對很多人來說）是反直覺的。
所以題主覺得不好理解，非常正常。原因是經典邏輯並不嚴格對應於人的自然思維。符號邏輯系統有千千萬種，不止書上教的那一種，還有 Relevance Logic 等一堆非經典的符號邏輯系統試圖在填補這個鴻溝。
下面主要談談兩種不同的邏輯系統，經典邏輯與直覺主義邏輯，怎麼對應於普通人的思維模式。
在經典主義邏輯框架下， 被稱為「實質蘊含」，這句話「不應該」被解釋成自然語言中的」如果 p, 則 q「，而是應該解釋成」如果 p 為真，那麼 q 也為真「。因為 "p" 和 "q" 可以完全不相干。實質蘊含最讓初學者糊塗的地方是，如果 p 為假時， 居然必然為真。
不要小看這點區別，這會引起很多的「反直覺」結論：
反直覺命題一：
這個在經典主義框架下是永真的，這個可以被誤讀成：世界上的所有東西都是相互關聯的。
反直覺命題二： Pierce's Law
這個在經典主義框架下也是永真的，解釋下試試看，如果乙個蘊含式能蘊含它的前件，那麼它的前件 p 就為真。請用「如果……，那麼……」解釋下試試看？
繼續，反直覺命題三：著名的 Drinker's Paradox，飲酒者悖論
「如果乙個酒吧裡面存在乙個飲酒者，」那麼「 酒吧裡面所有的人都在飲酒。」這句話是不是很荒唐？我們之所以認為荒唐，正是因為我們把蘊含符號「錯誤解讀」成為了」如果……，那麼……「。
在經典主義框架下， 等價於 ，可以解讀為「要麼條件 p 為假，要麼結論 q 為真」，實際上也還是在解釋「實質蘊含」。
但另一方面，如果熟悉了經典邏輯，慢慢你會覺得「實質蘊含」其實也不難理解，這時候大腦就能夠比較熟練地切換各種推理模式。大邏輯學家羅素就認為「實質蘊含」非常自然，很本質。
經典主義邏輯看似比較好入門，因為一階命題經典邏輯能很好地對應到「真值表」，於是很多人不由自主地過度依賴真值表來理解命題，而忽略了「推理」。這一點也讓很多人混淆「語言」和「元語言」的關聯和區別，我在另一篇回覆中提到了這個問題。但是，經典主義邏輯中有很多的坑，從而導致在推理過程中，會遇到一些難以理解的問題。
熟悉函式式語言程式設計的朋友，可以很自然地把 看成是函式型別，比如 。這也就是比較新的程式語言逐步引入蘊含符號的原因。直覺主義邏輯符號很好地對應程式設計推理。
而經典主義邏輯概念雖然也能對應到程式設計，但是往往都是和不容易理解的控制流操作符相關，比如 call/cc，setjmp/longjmp 等。
直覺主義依賴構造性而非「真值表」，乙個命題不再對應於真假，而是對應於它的構造性證明。 表示 「p不存在構造性證明」，但是這並不意味著 p 為假，也有可能 p 只是「不可證」。那麼反證法就在直覺主義邏輯框架中就不再成立了。
反證法符合直覺麼？不好說……
在直覺主義邏輯框架下，除了反證法（ ）不成立，逆否命題不再等價於原命題( 成立，但反向不成立)，這個符合直覺的嗎？看你怎麼理解，從計算和構造的角度看，非常符合直覺。 ，但是反過來是成立的，即 。
陣亡的還不止這些，還有德莫根律，還有 "不是所有的人都不抽菸" 不能直覺蘊含 "存在乙個人抽菸"，等等，也包括上面提到的三個反直覺結論，在直覺主義框架中是不可證的。
我個人平時在思考過程中，絕大多數時間用直覺主義邏輯來推理，當遇到複雜一點的命題，會採用「自然演繹」（Natural Deduction）的規則進行心算，推理過程就像「編寫程式」一樣，非常自然。如果用到反證法，則會將反證法作為公理引入。但是如果讓我採用真值表的話，即使借助紙筆演算，也要多花費幾倍的時間來理解。
推薦大家採用自然演繹的方法進行思考。
11樓：daniel
分析題意：假設A為真，若B為真，則命題成立
證明：假設A為真，由於已知A為假，等價於已知是空集，而空集是任何B的子集，即B為真。故命題成立。
怎麼理解數學裡的點火公式？
寨森Lambda CDM 我補充一點在復變函式上的看法。當 是偶數時，注意到 這個結論可以用Cauchy定理和Cauchy積分公式得到 所以積分裡真正貢獻的項只有 所以上述積分實際上就是把組合數展開，再化成雙階乘就是點火公式了 清隳 其實只是 Beta 函式的乙個應用。大家應該知道 Gamma 函式...
如何理解數學的不可證偽性？
學半 定量探索和求解我們人類的宇宙過程來龍去脈之學，叫做科學。駁荒唐的 可證偽性 說，參見 https zhuanlan p 40245596 楊松 不可證偽是相對於現實 真實而言。數學只是一套模型，定義在所謂公理的假設基礎上，雖然其內部邏輯嚴明，但是只是工具，永遠與現實 真實保持距離，所以也就不能...
如何理解數學期望的線性性質？
wuranra 隨機變數 是我們關注的目標事件可能發生的結果，即X代表了事件所能取到的值。比如 扔骰子這個事件，X能取到1 6。隨機變數函式 是我們在關注一些事件後，想在其基礎繼續挖掘一些有用資訊所採用的手段，人們常常可以通過構造乙個函式g X 的辦法來實現這個目的，而這個手段的結果就是在基本事件X...