1樓：不上清華不改網名
題主問的這個問題很顯然就是在偷換概念。請問你的意思是：此分段函式在x=0處可導嗎？
x=0處的左導數顯然存在，為1。可x=0處有右導數嗎？第一段函式在x=0這點有定義，可是再往右就沒了，所以你打算怎麼導？
再說第二段，乙個不包含0的開區間，你說它在x=0有右導數？
顯然你是把極限和導數的概念弄混了，我看有的知友也指出來了。這個函式在0的左極限有，為0；在0處有定義，函式值為0；【在0有右極限，為1，而不是有右導數！看清楚！
】根據連續定義，左極限等於0處的函式值，所以左連續，而右極限不等於0處的函式值，所以右不連續，所以這個函式在0處不連續（由圖也易知）。且為跳躍間斷型別。
總結，這個分段函式不僅在0處不可導（因為右導數不存在，而不是你想當然的第二個函式的斜率。拜託仔細看看導數的定義好伐？），同時也不連續。
再重申一遍，函式在x=0處不可導，因為右導數不存在！！所以你提的前提可導都是錯的，更不存在推翻「可導一定連續」或其等價命題—不連續一定不可導這一性質（或者定理）。
如果真有這麼容易隨便舉乙個這麼簡單的例子就能推翻乙個定理的話，早被推翻了。因為這個例子太簡單了。不像狄利克雷函式構造出來當時確實震動當時的數學界。
而且這個定理你們老師沒給你證過？這是任何一般情況下都成立的。怎麼可能被你隨便推翻（滑稽）。
有想法是好事，可是這個問題是在沒什麼價值。很明顯的邏輯錯誤，或者概念不清晰。雖然你覺得自己可能有大發現，雖然你當時可能謎著轉不出來，但是這樣的問題你自己好好想想就能發現它的不對勁了。
可能迷過來之後還會暗自發笑—自己當時可真是睿智啊。
先好好想想嘛，貿然一問，問個這麼低水平的問題，丟人的可是你呀。雖然沒什麼大不了的，不會被噴。可是——
我打字很累的，嘻嘻 。看到這裡了，給個贊唄。
分割線突然想起來我還沒嚴格證明為啥x=0的右導數不存在。這個很簡單的。用導數定義就行。
（不好意思，我不會打公式，不過不要緊，很簡單的，一想就可以，也可以自己寫）導數等於高數值的差比自變數的差，就按定義來，用f(h)-f(0)/h,h趨於0+，你會發現，導數等於無窮大，顯然右導數不存在。為什麼會是無窮大呢？因為在0處右不連續，有個突躍，所以變成無窮大。
這從側面體現：不連續一定不可導。
2樓：commontolerance
假如你的論述成立的話， 當然是違背的。
但是實際情況是你的論述本身並不成立， 所以當然也不存在違背一說。
關於連續性(continuity)和可導性(differentiability)之間的關係是：
1 不連續， 則一定不可導。
也就是說連續性是可導性的必要（非充分）條件
2 可導則一定連續。
也就是說可導是連續的充分（非必要）條件。 用自然一點的話說， 如果知道乙個函式在一點可導， 則意味著函式在該點一定連續
differentiability implies continuity, but it is not necessarily true the other way around.
根據你的描述， 該分段函式(piecewise function)可以寫為：
當x左側接近0的時候， 導數為1。 這個比較容易理解。
但是當x從右側接近0的時候， 導數其實是無窮大（positive infinity）而不是你直覺上以為的該分段函式的斜率1。 這個確實容易混淆。
下面是幾個練習， 你參考一下。
下面是幾個典型的不可導的場景
例子1 不連續， 所以一定不可導 （jump discontinuity）
例子2 不連續， 所以一定不可導 （point discontinuity)
例子3 雖然連續， 依然不可導 （sharp point）
總結一下， 有點懶， 所以直接貼圖了。
此外需要說明的是：
1 導數(derivative)是乙個定義，不是乙個證明牢記其定義， 然後在任何情況下，如果忘記了所謂的以上判定標準， 只需要借助最基本的定義來進行判斷就好
2 導數的幾何含義
3 導數的物理含義
通過1 來做最基本的判斷。 通過2和3來幫助你理解在具體的幾何和物理場景下可導性的含義。
3樓：
這是乙個常見的誤區，左（右）導數、導數的左（右）極限是兩個完全不同的概念，分段函式不連續點處左右導數至少有乙個不存在，但導數在該點的極限可能存在
4樓：林曉疏
題主應該是記錯了單側導數的定義吧，這個函式0處的右導數是不存在的。更一般一點，是混淆了單側導數和導數的單側極限這兩個概念。導數某點的單側極限存在，並不一定等於該點的單側導數。
5樓：tetradecane
先問是不是，再問為什麼。誰告訴你你說的這個函式有右導數了？
右導數從幾何上可以這麼看：設求導點是a，函式是f(x)，取定點A(a, f(a))，再取點A右側一點B(a+d, f(a+d))，讓d趨近於0，也就是讓點B趨近於點A，直線AB的斜率的極限就是右導數。
你用這個幾何認知來看看你這個函式的右導數存不存在。
6樓：秋刀魚
不矛盾，間斷點是指在這點的極限值存在，但是他不等於我們的函式值。又我們函式可導一定連續，但是連續不一定可導，所以函式在間斷點不連續與函式是否可導沒有必然聯絡
7樓：予一人
假如一點的左導數、右導數存在且相等，那麼這一點自然是可導的。
但是，請不要把左導數誤解為導函式的左極限，也不要把右導數誤解為導函式的右極限。
例如：左導數定義為 導函式的左極限定義為 這兩者一般是不相等的。
本身可導但其導函式不連續的函式一定是分段函式麼？
哈哈 f x sin 1 x,x 0 顯然該函式有原函式且該函式不連續，那麼F x 作為f x 的原函式，就一定可導且導函式不連續，F x 在x 0處連續可導而f x 則既不連續也不可導，將F x 在x 0的點附近函式進行映象，平移，得到個抽象函式G x 顯然G x 連續可導，而g x 處處不可導。...
是否存在無理點不連續 有理點連續的函式？
折翼 不存在。但是解釋起來稍稍有點複雜，需要用到點集的語言。以下說的 函式 都是指把實數對映成實數的函式。高維空間中的函式同理。學過微積分就會知道，有乙個被稱為黎曼函式的奇妙函式 它在無理點連續 有理點間斷。這裡的關鍵原因是，對於任何 0,eeimg 1 滿足 varepsilon eeimg 1 ...
函式在一點連續不可導一定取得極值嗎，舉例？
王爺 不一定處處連續處處不可導函式 在數學分析的發展歷史上，數學家們一直猜測 連續函式在其定義區間中，至多除去可列個點外都是可導的。也就是說，連續函式的不可導點至多是可列集。當時，由於函式的表示手段有限，而僅僅從初等函式或從分段初等函式表示的角度出發去考慮，這個猜想是正確的。但是隨著級數理論的發展，...