1樓：YangL
平面圖的染色問題也挺有意思
給定乙個平面圖G，問G是不是可以被k種顏色染色。
k=1時，問題是P的。
k=2時，問題是P的。
k=3時，問題變成NP-complete的了。
k=4,5,6...時，問題又變回P的了。
2樓：Yifan
在低維拓撲中，有乙個曾經很著名的猜想：
Heawood Conjecture (1890): 對於尤拉示性數為 的閉曲面（二維緊流形）上的地圖，要用 種顏色染色。其中 .
這裡的「染色」指的是相鄰區域顏色不同。這個猜想說，對於 的曲面， 種顏色足夠進行染色了，並且存在一種地圖，至少需要 種顏色。可以看到這個定理是四色定理的推廣，當 時我們就得到了四色定理。
2023年，時任MIT的教授Philip Franklin證明了，Heawood Conjecture在Klein Bottle上是錯的。公式給出的染色數是7，然而他證明了6種顏色足夠：下面的Franklin graph給出了Klein Bottle中最佳染色的一種表示
Franklin Graph
猜想在2023年被Ringel和Youngs證明：對於所有的閉曲面除了Klein Bottle，猜想成立。。
他們的證明非常長，以至於所有的低維拓撲教材都會包含這個定理，但是絕對不會提到證明。據說證明有三四百頁，而且直到現在也沒有簡單的證明。
3樓：不連續的存在
S^n不是李群除了n=1，3。
突然發現不是李群不是啥好事。。。這答案也許算偏題了。
順便說一句有兩個答案提到了
Aut（Sn）同構於Sn除了n=2,6
S^n上沒有近復結構除了n=2,6
覺得很巧
4樓：青春
微分幾何中的Bernstein定理：若乙個定義在R^n-1上的函式f的影象是R^n中的極小曲面，則f是線性的。
這個結論對於n<=8都成立，然而對於n>=9都不成立。。
5樓：
費馬小定理的逆命題
幾乎成立
除了極少數特別大的合數
（好像2^128是乙個反例？
可以多取幾個模數來增加正確率
被改進為公尺勒-羅蘋素性判斷演算法
6樓：
歐氏空間R^n只有唯一的微分結構，除了n=4情形。（分析）
標準球面S^無近復結構，除了S^2和S^6情形。（幾何）
對於任意素數p，橢圓曲線的p-分點的伽羅瓦表示的提公升是modular，除了p=2情形。（代數）
7樓：陳斌
我想說除了2,所有的質數是奇數，但這不是個好例子。因為所謂偶數，就是2n形式的整數啊。你也可以說除了3以外，所有的質數都不是3n形式的整數。
類似的，5，，7....所以2關於這種性質並不特殊，(n為自然數)。我想到乙個，除法有個例外，除以0沒意義。
8樓：Yuhang Liu
提供幾個李群李代數方面的例子。
然後在 這族半單李群當中，只有SO(8)的外自同構群為 ，其餘的都是 。這也跟所謂的triality有關係。這個事實從Dynkin diagram就可以看出來。
半單李代數的外自同構群是Dynkin diagram的對稱群，只有SO(8)的外圍3個頂點是完全對稱的。
然後考慮Cartan對復半單李代數的分類，所有的單李代數可以由Dynkin diagram刻畫。只有 的Dynkin diagram有3條槓，別的最多2條或者1條。我暫時不知道這有什麼重要意義，只是覺得挺有意思的。
懂 的可以教教我。
這些都是我兩年前讀我老闆的（錯誤百出的）notes: https://www.
math.upenn.edu/~wziller
/math650/LieGroupsReps.pdf
. 時學到的，可惜做問題的時候只用到SU(2),SO(3)，大一點的李群都沒怎麼碰到，都快忘了。。
9樓：九條可憐
WC2017T1
每乙個邊雙聯通分量在二分圖的時候可以產生所有偶置換，其餘情況都是全集僅有乙個（好像是乙個記不清了）特例
反例被出題人加到了大部分資料中把寬哥哥卡爆了
10樓：jwhj
考慮求[1,n]中與n互質的數的和。（n為正整數）如果，那麼，所以與n互質的數成對出現，所求的答案是。
但如果你把n=1代進去的話會發現不成立，這也是唯一不成立的情況。
UPD又想起來乙個東西。
對於一切不是2、6的正整數成立
之前好像把 寫成了 ，希望沒有誤導到大家……
11樓：王贇 Maigo
最近在研究這個問題（各項均為正整數、公差不為0的有限長等差數列，各項的倒數和是否一定不是整數？ - 初等數論）時遇到的：
設乙個各項為正整數的等差數列有項，首項為，公差為且與互質，則各項的最大質因數大於，唯一的例外是時（數列為2, 9, 16，最大質因數為3）。
參考：Shorey, T. N.
, and R. Tijdeman. "On the greatest prime factor of an arithmetical progression.
" A Tribute to Paul Erds (A. Baker, B. Bollobas, A.
Hajnal, eds.) pp (1990): 385-389.
12樓：
1. 「所有的有限單群都屬於18個族之一」
不過那26個特例比18個無窮族更優美……
2. 組合設計理論上這種東西太多了：
"設計存在當且僅當"
"Steiner三元系的大集存在當且僅當"
3. 如果是乙個正則，2-連通的圖且, 則有Hamilton圈，除非是Petersen圖
13樓：
區域性域上的一些結果：
在特徵不為2時，正交群、特殊正交群、酉群的表示都可以被全部構造出來。
給定任意reductive algebraic group，當特徵充分大時，其表示可以全部構造出。
14樓：caleb89
很簡單的例子：
Automorphisms of the symmetric and alternating groups
除了之外，對稱群的自同構群
簡直就是逼死強迫症，現實中東西擺歪了你還能用手去調，數學的結論永遠讓你不舒服
15樓：
抽象代數課本告訴我們——
交錯群當時是單群，這是人類最早認識的一類非交換有限單群。如果光是這一句還看不出它為什麼優美的話，請看下一句——
這一事實也是Galois證明五次及五次以上一元代數方程不能用根式求解的基礎。^_^
16樓：流火
想到了乙個不是很切題的…
stirling公式近似計算階乘。
在oj上遇到有些n!相關的題目的時候…往往在n＜某個值的時候需要暴力求解…
代數學在電腦科學中有什麼應用？
部分機器學習演算法要用到最優化，最優化本質是帶約束或者不帶約束的極值，裡面要用到導數。微分流形什麼的可用於提取高維空間中的低維規律，在機器學習裡面可用於降維。 太帥不顯示使用者名稱 目前是在密碼學 編碼理論方面廣泛應用。具體參考一些書籍。因為代數理論在拓撲學中占有重要地位，而拓撲學目前已經突破它自身...
計算幾何和計算機圖形學是什麼關係？在數學裡的什麼地位？
Jiangxh1992 計算幾何可以說是數學圖形方面的最基本工具，形狀的數位化表示和分析，可以在計算機中表達和視覺化的數位化表示以及分析，另外結合線性代數 離散線性表示等通過關係表示式對圖形資料進行操作處理，與計算機中的矩陣圖形網格 顏色矩陣 結合對接，計算機實現圖形和影象資料的轉換從而與自然界景象...
最數學的電腦科學方向有哪些？
劉夢源Mayo 現在回答這個問題，得說是ml theory了，十年前的話，還沒必要加上theory。那時候是個做ml的都有著卓爾不群，優雅從容的數學能力，各種optimization和prove全部信手拈來,真乃計算機界的一股股清流。 polossk 說兩個個人體會比較多的。ml，經典的方法，大多有...