1樓：Pseudorandomness
簡單說乙個在理論電腦科學裡的應用吧。
[Wu20] 是用隨機分析的方法簡化 [RT18] 裡面 AC0 circuit lower bound 的證明。
[RT18] 裡面需要證明某個分布 可以 fool AC0 circuit 也就是:
對於任意可以被 AC0 circuit 計算的函式 ，
其中 為 上的均勻分布。
證明的基本想法是我們可以將 看成某個 維布朗運動在某個固定時刻 stop 的結果，
然後通過定義 stoping time ，根據 為 Ito diffusion 利用 Dynkin』s formula：
可以將問題拆成關於 的形式：
然後再利用 AC0 circuit 的 Fourier tail bound 的性質： 和 就可以證明：
2樓：
可以用在連續時間的 Bayesian filtering。
先回顧一下離散的情況——線性狀態空間模型：
其中 為未知的系統狀態， 是可觀測的輸出， 為已知的輸入， 和 都是 Gaussian 雜訊。這裡的主要任務是通過 和 估計系統狀態 ，一般我們用 Kalman filter 來求出 的後驗分布。
連續時間的情形下，模型變為
這裡 和 都是 Brownian 運動。同樣地，我們希望求得 的後驗分布 。這時便需要 Kalman filter 的連續版：
Kalman-Bucy filter。它也可以處理測量是離散的情況。推導中用到了 SDE 中的 Fokker–Planck–Kolmogorov 方程，具體過程也可以參考 Lecture notes on state estimation of nonlinear non-Gaussian stochastic systems 的 9.
2 節。
不過話說回來，機器學習領域依然習慣於把隨機部分看成是雜訊，跟金融數學那種本身就是研究隨機性的領域在出發點上還是有本質的不同（不知道這樣表達能不能看懂）。
3樓：Yupeng
表弟在馬普所做quantum physics，我個人在讀金融數學方向的phd，辦公室幾個哥們有幾個研究流體力學，都會偶爾的交流一下。做量子物理，要用到統計力學和隨機場論，裡邊很多的隨機過程就不必多說了；在流體力學力，現在越來越多的人開始研究Kolmogrov的那套方法，從傳統的pde模型開始向隨機模型靠近，以便於研究vortex這些難以被解決的問題。個人覺得，20世紀的應數所pde的年代，21世紀是隨機的年代。
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