1樓：eltreum
數學上把乙個概念拓展是有很多條路的，從模的角度來說可以，但如果從範數的角度來說不行，非要讓範數有負數的話，會產生很多問題，很多原本的概念或者性質根本沒有對應，我覺得這樣子沒什麼意義
2樓：幷州達人
可以是可以，但是單獨這麼乙個規定有點不太夠用。另外，如果新增完更多規定之後，其核心研究其實只不過是在研究乙個多項式環以及乙個針對此多項式環構造出的方程的性質而已。
首先，你似乎把j規定成數，我暫時理解為，j不是乙個已知實數，你通過別的方式構造了乙個元素j,再把實數集合和｛j｝的並集看做乙個集合，並且這個集合擁有環，乃至域的性質。
那麼，姑且認為這樣組合，會產生1+j，這樣類似於複數的數字。
但是你需要規定j*j等於什麼，不然的話，j就連基本的環性質都沒有，那就很難理解為乙個數了。
無論你怎麼規定，規定完之後，其實你就已經構建完了乙個多項式環的子環。
因為絕對值是乙個範數，所以絕對值的性質不可改，我們只能說，我們構造出另乙個方程，對於所有實數，這個方程對映到這個實數的絕對值，對於j，這個方程對映到-1，姑且管這個方程叫做f。
關鍵就在於，我們除此之外，對於因為產生的其他元素，該如何規定
首先，f(a*j),a是乙個實數時，這個方程該如何計算？
鑑於題主似乎很願意讓這個方程比較有貼近範數方程的性質，所以，我覺得可以規定為
f(a*j)=|a|f(j)=-|a| 應該是題主所期望的。
那個剩下的問題，則是，如何規定f(a+j)了,
另外，如果j*j =a ,a 是乙個實數的話，我們不用單獨規定f(j^n)等於什麼了。
但是，如果題主規定了j*j可以作為j^2，也就是說，j可以保留次方的話
那最好再規定一下f(j^n)會等於什麼。
如果按照我上面所說的，把所有規定補齊，應該就算是構成了乙個比較完善的多項式環外加乙個定義完善的方程了。具體這個多項式環和這個方程有什麼研究價值我不太確定，但是至少確實是乙個定義完善，可以研究的集合了。
3樓：
我來補充jack的回答。
如果規定數 j 滿足 j 的絕對值為 -1 ，數集會不會有新的擴充？
我們設顯然
設實數x對應的數量矩陣為
則雙曲複數 相當於矩陣
定義雙曲複數的絕對值為矩陣的模，易知
滿足要求。
證明矩陣對加法和減法封閉，可以對應上x+yj的形式：
證畢。證明矩陣對乘法封閉且可以對應上雙曲複數，可以對應上x+yj的形式：
在證明除法之前，先定義共軛複數：
它們滿足
即於是我們得到：
因此，矩陣對除法也是封閉的，而且也可以對應上雙曲複數。
對於 等函式，可以用級數來定義，而其只不過是加法和乘法的疊加，因此矩陣對其也是封閉的。
至此，我們已經證明了雙曲複數是可以對應上矩陣的，且雙曲複數矩陣構成的域是封閉的。
4樓：懶得寫
這違反了絕對值的公理。
絕對值是非負的。
所以，題主說的|j|=-1這種東西，在數學上是不被認可的，這是沒有實際意義的。
我們在來考慮||j||的問題。題主說了，|j|=-1，所以這個東西就是1啊！題主可能這是又規定乙個k,|k|=j……
關鍵是，題主的j沒有實用意義啊！前面答主說了，i可以用於一元三次方程求解。但是，j可以幹什麼？
5樓：無悔客
中學角度講，絕對值意味著「距離」，距離不能為負，所以你的定義無效。
大學角度講，絕對值是範數，範數具有正定性，所以你的定義同樣無效。
數集擴充有其內在邏輯，不能胡亂定義。
6樓：
說結論：可以，但沒必要。
眾所周知 的引入是為了能解開一些實數內不可解的多項式方程，那麼題主的問題可以表示成：如果拋棄一些實數絕對值的性質（非負性、三角不等式……），可否通過引入 來得到絕對值方程的系統解法。
那麼首先乙個，我們就需要考慮 該如何定義。如果把 視為乙個 的函式，那麼不妨假設這個函式有一些良好的性質，比如 、 在 內連續，這樣。那麼考慮乙個在 內 的鄰域，考慮每一條從 到 的不相交路徑可知，在這乙個鄰域之內方程 就有無窮多組解，這顯然不是乙個經典意義上的「良好的解」。
（順帶一提，四元數內方程 就有無窮多組解，這裡我們忽略掉這樣的可能性。）
反之從給定任意 考慮 的解集的角度出發，如果假設存在連續函式 使得 （需要至少兩個函式是因為當 0" eeimg="1"/>時方程就存在兩個解 ），那麼從上一段的論述模擬可以看出，這樣的反函式 是幾乎處處不連續的，並不符合我們的要求。
那麼我們可不可以考慮形如 的等價類呢？（也參見答主@鍵山小鞠提出的多值函式解釋，這裡不再重複）乍一看這解決了方程 不可解的問題，因為它在實數內就給出了 的解，但仔細思索一番會發現它並沒有解決全部的絕對值方程，因為方程 仍然是無解的。
這就引出了我的最後一種解釋：按照題主要求新定義的絕對值函式 可以取 的值。因此早在第一段考慮過的絕對值函式在定義域 內的插值問題就有了不止一種解法。
舉例來說，我們定義 ，而且 。我無法證明這樣的定義是否能解決全部的絕對值方程，但下面是乙個例子：
示例：在 內求解 。
解：由定義可知，若 則
接著由實部和虛部都為零解得 ，因此 。
代入驗算：
這確實是方程的兩組解。
更新：我發現這樣的定義仍並不能解決所有的方程。函式 在 內有寬鬆的上界 （這裡取了 的歐式模 ）但不是常函式，故這樣定義出的數集不含Liouville定理，特別地方程 無解。
7樓：
那麼我要反問你：什麼叫絕對值？
先平方再開根號？如果是這種定義，那開根號的結果一定是非負的，這是定義。你如果換一種定義絕對值的方式，倒是可以讓絕對值是負的，但是顯然脫離了題主想做的。
數學裡還有乙個東西叫範數，一般用範數來衡量乙個「元素」的「長度」（例如絕對值用於衡量實數、複數到原點的距離，可以認為是長度）。假設f(x)表示x的範數，範數一定要滿足下列條件：
①若x=0則f(x)=0，若x≠0則f(x)>0。（劃重點：範數非負）
②f(ax)=|a|f(x)，注意a是數字，而不是元素。
③f(a+b)≤f(a)+f(b)。
8樓：
有個相似的問題[1]在Quora出現過。上面有個回答提到了雙曲複數（Split-complex number）[2] 。
雙曲複數是乙個有序實數對（集合的結構與 相同），寫作 ；其中 和 為實數， 但是 不是實數。它的「模（module）」定義為 。根據這個定義， 。
9樓：鍵山怜奈
再回到絕對值的問題，你想定義j的絕對值是-1那定義就是了，乙個定義無法帶來任何問題。關鍵在於這個定義是否足夠有趣。其實有乙個例子，矩陣的行列式是否可以看作絕對值？
畢竟書寫上經常用 表示行列式 ，所以這樣自然可以 或 ，關鍵在於評判這樣的函式是否表達出了「絕對值」的含義，而這是乙個很主觀的問題。
按照普通的數學愛好者的思路，應當首先思考什麼是絕對值，之後用公理化的方式來定義絕對值，就好像加法被公理化地定義為滿足 且 的運算一樣，之後就可以套用這樣的定義於乙個更大的範圍內，從而實現概念的擴張。
但是絕對值，直接由它的絕對性就可以否定掉題主的腦洞了，那就是 ，絕對值的絕對值應當等於絕對值。這個性質在除了絕對值以外的很多概念中也會出現，比如取整、取符號、閉包、內部、共尾、trcl之類的，如果認為絕對值應當滿足這個性質，那麼問題就這麼結束了。當然這個性質也可以拋棄掉，就像拋棄「負數不可開根」一樣。
有乙個現成的概念有點類似題目中所說的帶負數的絕對值，那就是去掉非負性的範數。範數要求非負性、齊次性和三角不等式，去掉非負性也就是
然而這個定義也可以證明絕對值不可能是負的，因為
所以如果要讓絕對值是負數，不管怎麼樣至少絕對值的定義會變得面目全非……
或者用多值函式解決一切問題。定義 當 ，那麼 並且 ，甚至可以用 將其區分為多個分支。
10樓：BobG
題主要明白這一點：有用的永遠是數集內的運算關係，而不是數集本身。
複數集為什麼有用？因為它內部有十分優秀的運算法則，它和實數集之間也有良好的關係。
舉簡單的例子（複雜的我也不會舉，也別找我要。更像感性認知而非純理性思考）吧，i^2=-1，看起來似乎只跟平方有關，然而冪運算有同底數冪的乘積運算法則，這樣就和乘法扯上關係，乘法自然和加法扯上關係。牽一髮而動全身的。
而完善的複數系能繼承實數系幾乎所有的運算法則。
還是算了吧，不要嘗試了，如果做出來的東西好，數學家們不是早就去做了嗎？
11樓：
嚴格說來，從實數集出發，可以進行各種擴充，複數只不過是定義了有序陣列
並自定義加法和乘法
形成乙個包括所有實數的域，這個域的好處在於任何多項式方程在這一域中都有解。
而根據你的定義，你只是把上述乘法更改為
這當然也是一種實數的域擴充套件（可以自行驗證滿足域的所有條件），但是這樣擴充套件之後能夠實現的額外功能是很有限的，可以解諸如 之類的方程，但是沒有複數擴充套件連一般的多項式方程也不一定能解。
如果在複數基礎上進一步擴充套件，即定義陣列
並自定義加法和乘法，你會發現無法建立起滿足所有域條件的規則。
自19世紀以來，從漢密爾頓開始很多年輕數學家試圖尋找這樣一種三元數，但最終沒有結果。這揭示了數學裡很基礎的一種關係，如果對抽象代數有興趣可以讀一下這本書
如果你再加乙個維度，四維下可以建立四元數概念，但這種情況下乘法交換律必須犧牲掉，不是嚴格的域。一般來說，二維以上的實數擴充套件不能保持域特質。
從這一層角度來說，複數是實數拓展範圍內最「簡單全面」的一種拓展方法。
12樓：李神針
應該會有那麼乙個東西，表示距離，而且表示負的距離，只不過目前我們不知道。
就例如說，電磁波，從一處，到一處總能表示出電磁波走了多少距離，但是要描述清楚，一束電磁波從黑洞外一處，進入到了黑洞內的某一處，這個光走的距離就很難表述了。
就目前來說，我們根本無從得知視界裡面到底是啥樣，也不知道伸進視界裡的棍子到底啥形狀，這個東西，根本無法描述。所以肯定還是有發展空間的。需要其他的東西來描述當前無法描述的東西。
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