1樓：VastDawn
那我就用小學數學來解釋一下
由圓的定義可以得到圓的方程
把它化成函式，就變成了圓的上半部分
我們知道，弧長的積分公式是 （勾股定理）
而帶入消去dy，得到
因為只有上半部分，而圓是對稱的，所以圓的周長等於我們很容易可以得到
帶入上式並消去y的導函式，得到 (我們現在用C來代表圓周長)這是乙個很漂亮的式子，現在我們要讓它更漂亮換元，讓
化簡得到
或者讓它更好看一點
你會發現
這是乙個常數，而由我們所學到的
可以猜到的到（乾脆就這樣定義π好了）
一直到現在，我們到沒有用到超出小學數學的水平（亂七八糟的ln sin之類的函式）
也就不存在什麼迴圈論證
所以，可能現在有人會猜我要用三角換元來求π了我就不這樣求
我甚至可以不求，我只要回答是常數就好了，我又不要求π題主的問題是，為什麼圓的周長和直徑比值都是常數那我可以和你說
因為是個常數（帶了字母明明就是乙個函式是個變數嘛）讓我們算算
哎呦，就是π，這個sympy肯定是用解析法算的，肯定是用了三角換元了，不行我得換乙個
再用scipy算一遍
而pi就是
相差不大
2樓：哈哈哈
因為「圓」這個圖形就像正方形，正三角形一樣，只有大小之分，沒有形狀之分，也就是說所有的圓，正方形，正三角形都是相似的。（好像這樣說有點奇怪 ）
3樓：黑白
因為圓的定義：
在乙個平面內，一動點以一定點為中心，以一定長度為距離旋轉一周所形成的封閉曲線叫做圓。
或者，在同一平面內，到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。
因此，影響圓周長的變數只有乙個，就是動點到定點的距離（半徑）。
除了變數剩下的就是常量了。
4樓：ABCDEFG
圖上不是說了，古人發現周長和直徑之比是常數，所有的解釋現實的理論都應該和現實相對應，幾何公理也是從符合人類認知的現實角度定義的，從任何符合人類認知的現實理論推出π是常數都是迴圈論證。非歐幾何就推不出π是常數，然而它在古人不能認知的地方卻是現實的。歐幾里得給世界定了幾個基本假設，符合他認知的現實，又能推出很多符合現實的正確推論，所以就是正確的科學。
數學本就是假設幾條公理是真的，然後推結論，所以π是常數是人假設平直空間得出來的推論，又恰好在足夠精度下符合現實。
想讓π是常數，你就假設歐式幾何成立，然後推的方法就多了。
5樓：自學生
元點是時間數量空間的三方共同統一體的基準。元點是時間的開始和結束點。元點是最短的數量半徑。
元點是最重的質量空間。大自然和思想，都是共同統一的一對時間的三方宇宙的規律。(因文化低，敬請指導和幫助)。
6樓：
簡單的解釋很難。小學的知識更難——反正我不會。
高等數學的解釋就很簡單了。周長 ，其中 r是半徑， 是繞圓周一圈的角度。
周長和直徑的比為 .這玩意是個常數，是
7樓：魯皮皮
用數學語言表達就沒意思了，簡單說，你用圓規作圖，相同半徑畫出來的圓肯定是一樣大小，換言之，如果圓周直徑比不是恆值，則相同半徑作圓不一定相同，至少在二維平面至三維空間是不可能的。
8樓：冒泡
你在平面上畫乙個長度為1的線段，然後隨便畫一條閉合曲線然後把這個線段和曲線看做整體，等比例放大，若線段長度為x，則曲線長度也是原來的x倍，曲線圍繞的面積是原來的x*x倍
應該是這樣吧，水平不夠做不了更多解釋了
P.S.歐式幾何
9樓：謝靈
這是乙個平面幾何問題.
圓的唯一條件是半徑r,
畫出圓的周長為l
因為所有圓是相似圖形.
由相似圖形原理:l/r=l1/r1=l2/r2=l3/r3=li/ri=k
10樓：Dandan Liu
其實，如果你發現自己解決不了這個問題，不是因為自己不知道什麼叫非歐空間，而是連圓的弧長都無法直觀的定義好。我其實也不知道怎麼直觀的定義曲線的長度，但我知道用弧長積分就可以做乙個數學分析上的定義。那你用那個式子，這個結論就是顯然的。
11樓：李狗嗨
如上圖所示，以點O為圓心作兩個半徑不同的圓，小圓的半徑為 ，周長為 ；大圓的半徑為 ，周長為 。分別作兩個圓的內接正邊形（ 為偶數），邊長分別為 和 ，且保證正兩個邊形過圓心的對角線重合。
那麼有 因此 。
所以有 。
設小正邊形和大正邊形的周長分別為和 ，則有 ， 。
所以有 。
由於當 時， ， ，即取極限或者說是逼近的思想，當邊數區域無窮，內接多邊形就近似是乙個圓了。
所以就有 ，表示的是：對於半徑不同的圓，其各自周長與半徑的比為定值，或者說為常數，記該常數為 ，則圓的周長與直徑之比為 ，是乙個常數。
12樓：耗子
如 @靈劍 所說，這個是歐式空間上才有的性質，在非歐幾何中通常不成立。
這裡先偏一下題，來看看在非平直空間中的「圓周率」會是什麼樣的。
先從我們最熟悉的球面開始：
圖中橙色線以上的部分為乙個球面上以A為「圓心」，弧AB為「半徑」的圓。如果球的半徑為R的話，半徑就是，周長則是 ，那麼球面的「圓周率」自然就是
可以看到球面上的」圓周率「就不再是乙個常數了，圓越大」圓周率「就越小。當這個球面上的圓非常小，也就是 的時候，這個「球面圓周率」也就趨向於平面的圓周率
球面是曲率為正的曲面，如果是負曲率的雙曲幾何，我們的模型可能就沒有那麼直觀了。我這裡選用龐加萊圓盤模型(Poincaré Disk Model)來描述：
Circle Limit I, 1958 - M.C. Escher
這幅《圓極限 I》所展示的就是龐加萊圓盤上的雙曲密鋪。與球面幾何的球極投影相反，遠離原點的圖形會被壓縮。
如果取度規張量為 ，其中 ，也就是說 ，距離原點的歐式距離為 的線元，它的實際長度是它所看起來的 倍。
現在考慮乙個圓心在龐加萊圓盤的原點，「歐式半徑」為 的圓，它在龐加萊圓盤上仍然是乙個圓。
實際半徑 ，
周長 「圓周率」
和之前類似，當圓很小的時候（ ）時圓周率就變回了 ，空間的性質也變得接近平直
當然，這個結論對於任意的龐加萊圓盤上的圓都成立。（證略，其實是懶）
事實上，上面兩個例子的結論有著幾乎相同的形式。更加一般地，令度規張量為 ，可以得到空間的高斯曲率正好就是 。（對於球而言 ）
類似的步驟可以得到一般的常曲率空間的「圓周率」公式：
，其中 就是我們所熟知的那個圓周率。
而對於平直的歐式空間， ，上式自然就退化成常數 了。而在非平直的空間裡，」圓周率「依然是半徑的函式。
另乙個與之有聯絡的問題是正三角形鑲嵌。用正三角形來鋪滿平面時，每個頂點周圍有6個正三角形。因為正三角形的內角是60°，正好是360°的 。
而這個結論又對應著，在平面上乙個圓的周圍，你正好能緊挨著放下6個它一樣大且彼此相切的圓，這些圓的圓心又都落在同乙個圓上，半徑是其兩倍。六個正三角形組成乙個正六邊形，正六邊形的周長又略小於它的外接圓周長，也就是 。不知你是否思考過這其中的原因？
在球面上進行正三角形鑲嵌，你可以參考一下正四面體，正八面體和正二十面體。它們每個頂點周圍分別有3,4,5個正三角形，這似乎也暗示著它們的「圓周率」不再是那個比3大一點點的那個數了。
在龐加萊圓盤上，正三角形鑲嵌的方式變得多種多樣，乙個頂點周圍可以有大於6個正三角形，可以是7個，8個，一直到無窮多個。
七階正三角形鑲嵌
對於n階的正三角形鑲嵌，該正三角形的內角變為了
取龐加萊圓盤的標準定義，
將其中乙個頂點放置在龐加萊圓盤的原點處，設另外兩頂點到原點的歐式距離是r，實際距離就是 ，這兩頂點之間的距離，也就是第三條邊的邊長，應該等於s：
解得 結果說明，想要在龐加萊圓盤裡進行正三角形鑲嵌，你必須挑選大小合適的三角形（其實球面也是，只有平面上的正三角形鑲嵌不要求大小）。鑲嵌的階數越高，需要的三角形就得越大。與之相對應的，龐加萊圓盤上的圓越大，你能塞下的同等大小的圓個數也就越多，也就從側面反映了其「圓周率」越大。
值的一提的是， 的時候（和平面一樣）， 。要想讓彎曲空間表現出與平直空間相似的性質，你就得選取乙個足夠小的區域來研究。
Wikipedia： Poincaré disk model
關於龐加萊圓盤上圓的周長，可以參考這裡 HYPERBOLIC GEOMETRY
另外，我把龐加萊圓盤的投影關係與球極投影做在了一張圖上，顯得有點亂……
13樓：cvgmt
首先，如何定義距離。
其次，如何定義圓。
再其次，如何定義圓的周長。
三個問題分別涉及到度量空間，集合論，測度論。
很難的問題，當初希爾伯特有考慮過沒有？
14樓：
任給乙個啥圖形，它的周長和邊長也成比例啊
其實我想說的是，你給定乙個圖形，它的周長自然可以根據邊長算出來，這並沒有什麼特別的
15樓：切我
因為 求導結果是 啊。乍一看這是迴圈論證，其實不是。從 Lebesgue 測度的角度看面積和半徑的平方成比例是很自然的，周長處理起來反而要更麻煩一些。
不過對於圓之類足夠規則的形狀，這裡有乙個簡單的辦法。我們引入 Steiner 多項式（這裡我們只考慮二維的情形，高維的時候也是類似的）：對於乙個緊凸集 ，考慮所有與 距離小於等於 的點組成的集合，這個集合也是乙個緊凸集，它的面積一定是乙個關於 的二次多項式。
設它是 ，對，這裡二次項係數一定是 ，多邊形外角和為 可看作是這個的推論。顯然就是 的面積了。代表的是什麼？
就是周長。這樣就很明顯了，擴大 倍，也就會擴大 倍。
16樓：牛岱
大學生：
先定義歐式空間中的"距離", 再定義"圓"的表示式, 在定義周長和直徑, 即可發現周長是直徑的常數倍。
給定乙個二維的歐式空間，要定義距離，先要定義內積。
把這些都定義完了，周長就是這個二維空間裡面定義好的一條封閉曲線的路徑積分，這個積分的每個微元都是建立在之前距離的定義基礎之上。
然後這個路徑積分的結果，直接就可以表達成周長乘乙個常數的形式。
先要定義【圓】和【距離】，才能消除直觀上的一些疑惑。
17樓：三川啦啦啦
大家都提到了相似關係，實際上用位似說明就更具有說服力了。
將兩個圓圓心重合，從圓心發射任意一條射線，分別被大圓與小圓所截（得到兩圓半徑），由圓的定義，同圓的半徑相等，半徑之比顯然永遠都是同一常數 。
以上符合位似定義：
已知兩個幾何圖形A和A'，若二者之間存在乙個一一對應，且每一雙對應點P和P'都與一定點O共線，同時OP/OP'=k（k>0是常數），則稱A和A'位似，而點O叫做位似中心，k是位似比。
由位似的性質，於是周長之比 為位似比 ，直徑之比 為位似比 ，
即任意圓的圓周長與直徑之比恒為常數，故稱之為圓周率。
為什麼多給任豪乙個鏡頭，他就能上熱搜？
曉看天色暮看雲 最近在看 扶搖皇后 雖然也看過劇版，但是還是忍不住代入任豪的臉，他真的太帥了！高華里生出散漫，溫暖中隱含深沉。 燒烤BBS 這句話我覺得得分兩方面看 優勢 任豪的熱搜很多都是無意間的，比如用臉殺人，比如滄一公投了個寂寞，比如滄決賽那無意一笑，比如超新星隨便拍拍，這些也是大家說這句話的...
如果乙個猴子在桿子上加速下滑，為什麼它給杆的力是摩擦力（且不等於重力）而不是重力？那它的重力去哪了？
wzq48 同意以上知友回答，還是分開來提問比較好。先確定是向上爬還是向下滑，再確定是問猴子受力還是問桿子受力。這就分開四個問題，各有不同。 amage99 假設猴子和桿子之間沒有摩擦力，你可以想象塗上了一種非常高效的潤滑油，那麼猴子還能爬杆麼？猴子和杆之間還有作用力麼？所以不難發現，猴子和杆之間是...
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魚看不見的海 和物件互相確認了硬度後在一起的，我稱之為這是一場鋼鐵直男與鈦合金直女的較量 在一起以後發現物件可愛的不得了 很關鍵的是我們倆都喜歡尬聊 然後真沒什麼聊 emmmmm 我們倆就互相哼，一般是她哼一聲我學她的語調，我們倆能三五分鐘內只哼不說話不是問題。我覺得每對情侶都有相處的方式吧，直男直...