1樓：Zhuchao Ji
補充一下@活潑的喵哥 的回答。
Sinai 在光滑遍歷論上的貢獻：動力系統中的吸引子指的是乙個不變緊集，它吸引乙個Lebesgue正測度的集合。雙曲性則指的是不變緊集的切叢可以連續地分解為兩個子叢，乙個子叢是一致擴張的，另乙個是一致收縮的。
對於一致雙曲吸引子，Sinai（和Ruelle，Bowen一起）構造了乙個唯一的遍歷測度\mu，滿足\mu在不穩定流形上的條件測度關於Lebesgue測度絕對連續。
這個測度現在被叫做SRB測度。SRB測度一般來說並不關於Lebesgue測度絕對連續，但是它會吸引Lebesgue幾乎所有的點。
事實上出現SRB測度並不一定非得有乙個一致雙曲吸引子，後來Pesin（Sinai的學生Katok的學生）發明了他的非一致雙曲理論，那麼怎麼尋找乙個SRB測度就成了這個理論中很關鍵的乙個問題。這方面Benedick，Carleson，Young，Wang，Viana，Bonati，Alves，Berger有很多傑出的工作。
Sinai對撞球桌理論的貢獻：所謂撞球桌指的是乙個黎曼流形裡的開區域，具有分段光滑的邊界，乙個區域中的點在測地流下運動，當它運動到邊界時會反射。最常見的例子比如歐式空間裡的多面體，這時測地流就是直線。
如果撞球桌邊界是嚴格測地凸的，這時就叫做Sinai撞球桌。Sinai證明了這時的測地流的動力系統是雙曲的（有奇點），遍歷的（甚至是Bernoulli的），具有正Kolmogrov-Sinai熵，具有指數下降相關性。
Sinai的傑出工作還有很多，由於我不懂更多他的工作所以無法介紹了。值得一提的是Sinai的數學工作大多和物理有關，他同時又能用嚴格的，漂亮的數學語言來處理這些來自物理的問題。Sinai是現代動力系統奠基人之一，由於冷戰的原因，美國和蘇聯在一段時間內互相較少交流，Sinai是蘇聯動力系統的領袖，美國的領袖則是Smale。
2樓：活潑的喵哥
個人認為Sinai最大的貢獻在於與Kolmogorov一起引入了動力系統的熵（entropy）這個概念。這個概念來自於Shannon的資訊熵，是動力系統最基本的不變數，用來刻畫動力系統在長時間作用下的混亂程度，絕大多數關於動力系統的研究都強烈依賴於對entropy的研究。
另外，Sinai培養了眾多傑出的數學家，例如Katok、Margulis、Ratner、Dolgopyat、Jitomirskaya。
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