1樓：張景斌
個人認為都很有用，只是不同領域的應用。
例如你做概率統計計算，如精算師，那麼實變函式和泛函分析會派上用場。
如果你是偏組合數論方向，抽象代數可能更有用，例如波利亞計數可以算同分異構體，離散形式卷積用於機器學習，莫比烏斯反演可能在密碼學有應用。
至於拓撲，我覺得這就是集合論的公升級版。以後學微分拓撲，微分幾何，代數拓撲就是在研究幾何問題，我個人覺得如果不是走純數學方向，學個皮毛夠了，數學上很多反例反直覺，所以學習拓撲學有點困難，價效比太低，學會用集合與對映解決生活問題做點建模更有意義。
2樓：張大帥
建議將非純數修改為非數學。
題主列這幾個不是並列關係，一般是這樣：想學偏微分方程就得先學泛函，然後想學好泛函得先學實變和拓撲。偏微分方程對於理工科的意義不用多說了吧。
此外凸分析這樣的優化類也需要泛函，優化對於理工科也是必修。變分法這樣的技術也是泛函打底。
要說分析，理工科來說傅利葉分析（調和分析）更重要一些，其實有數學分析的基礎就能看了。復分析也有一定用處，和實變泛函還是不太一樣的一些東西，雖然數學系的人不研究復分析了，但是對於理工來說還是有很多應用。
至於說實變作為概率的基礎，我覺得對於非數學專業其實無所謂，概率統計能用就行，概統本身的東西更重要。
抽代在計算機的某些方向和密碼學裡重要一些。不過抽代是個基礎學科，沒有直接用處但可能很多地方會涉及相關概念。其實理工科來說明顯線性代數才是主要的，進一步矩陣分析張量分析才是主要的。
如果說學習的話，那這幾科肯定是都學，想學泛函就得先學實變和拓撲，所以哪個重要其實無所謂，都學。
3樓：
實變函式讀完Stein前兩章就夠用了，然後就直接上泛函吧。PDE可以用Evans書5-8章，不過前提是你要會一點泛函。
拓撲，抽象代數直接無視就好了，工科基本上用不到。
4樓：
取決於你的方向吧。我覺得都挺有用的。
如果先學拓撲抽代，再學實變和泛函，對裡面的定義會有更深入的了解，比如Banach/Hilbeet space定義裡的完備是什麼意思。如果先學實變和泛函，再學拓撲和抽代，會有更多具體的例子幫助了解那些抽象的定義，比如除環上的模叫做線性空間(以及基存在性定理)，有個具體的例子就是平方可積函式的空間，因為是域上的模，所以一定是線性空間(有一組基)。
打了好多字好像和應用沒什麼關係。。。其實我想說你邊學機器學習的時候再回頭補這些數學定義其實也來得及。如果不是特別特定的領域，沒有什麼那種一定要學的數學課。
5樓：
計算機方向不但是抽代和組合，如果是高階的人工智慧還需要實變函式和泛函分析。因為畢竟是用概率論carry的，實變泛函跑不了的。
抽代和拓撲搞凝聚態非常有用。
6樓：
泛函的譜論，有界運算元都是工程中很實用的部分，但是泛函很難，至少對我來說很抽象有時候也不太好理解，就算理解了可能也不太能熟練的應用。
實變函式中測度對概率論很有幫助，傅利葉分析在工程中的地位我就不說了，但我覺得可以專門學一下distribution theory，很有用。
拓撲和泛函相輔相成，對我而言都比較抽象。
至於我的話，泛函，反問題，拓撲，這些都好難，於是我選擇去做了計算。。。
7樓：Dylan
數學對非數學專業有用大多體現在計算上，樓主所說的四門課程中，實變和泛函是和計算聯絡最近的，所以最直接的想法是實變和泛函會更有用。但基於樓主想以更高的觀點來思考問題，那麼拓撲就成了最關鍵的課程。拓撲可以說是所有除了代數之外數學課程的基礎，設想一下如果連空間開集閉集都弄不清楚，就別學什麼函式了。
然而我不建議非數學專業的去上一學期的數學專業拓撲課，因為大部分內容只是對拓撲領域的專業研究有用，比如說以後做代數拓撲或微分拓撲的研究。至於拓撲在經濟學中的應用，目前只看到nash均衡理論需要用到微分拓撲的理論，但這都是研究領域的工作，實際用處不大。至於拓撲在計算機領域方面的應用，也就只是名字被用上了，比如說拓撲圖，也就和拓撲有那麼一毛錢關係，倒是後續課程比如微分流形在計算機的影象處理還有機器學習方面用處比較多。
抽代在計算機專業的應用也差不多情況，基本上學回一些群理論就夠了。
學數學尤其是純理論數學，大部分時間是和實用性是扯不上關係的。對於非數學專業，最有用的數學科目估計就是數學分析，線性代數，微分方程，傅利葉變換之類的。以前最煩別人問純理論數學有什麼用了，我只能說愛因斯坦相對論有用
8樓：
我知道現在非線性這個詞很時髦，但是一般情況下處理最多的還是線性系統，比方說矩陣乘法就是一種線性變換。
我不知道運算元的譜定理除了在量子力學中有大量的應用外還有那些地方會用的。但是書名既然叫《工程與科學中的線性運算元理論》，那麼工程上一定有用得上的地方。而且，我覺得如果把線性運算元理論搞懂的話，那對理解線性變換應該會有更多的幫助。
那到底這本書具體講什麼內容呢？其實就是泛函分析......
9樓：
應用數學，PDE 數值方法方向，自學了 Haskell，感覺這些都沒有直接用到。
不過我喜歡最後兩個。
感覺匿名不匿名都一樣了
學好數學的一些分析類課程，泛函，實變，拓撲，做題目重要嘛？還是多看幾遍書 或者看完幾本不同的書比較好？
主要說一說 分析學 這條線。就我的學習經驗來說，數學分析的計算方面，能夠熟練掌握最基本的積分表就夠了，各種花式計算技巧其實不必太在意。關鍵是證明，特別是一些大定理的證明，比如隱函式定理的證明，這是極其重要的。掌握隱函式定理或者反函式定理的證明，為以後學習更加艱深的分析學和流形論打下堅實的基礎。實分析...
實變函式，泛函分析這兩門課在實際生活中有什麼用到的地方？
大部分人只是過過日子是不需要知道這些內容。但是並不是說你不需要知道，這就沒用了。事實上泛函分析這門學科極其有用，特別在數值計算裡，對數值計算方法的收斂跟穩定性有非常大的幫助。那要是沒這個學科，人類工業還處於20世紀初的水平，都不用說噴氣式飛機之類的。個人認為泛函分析應該所有數學系必修，包括應用數學。...
如何用一句話概括拓撲學 泛函分析 實變函式講的是什麼？
若漂 瀉藥，來個稍微長點的版本。拓撲學是用拓撲不變數區分不同胚的拓撲空間 比如可數可分公理 緊緻性 連通性 基本群 同調群 泛函分析主要介紹線性賦範空間 還有度量空間 內積空間 和有界線性運算元的性質 Reisz表示定理 Baire綱定理 開映像定理 共鳴定理 Hahn Banach定理 空間與運算...