1樓：badfatraccoon
無窮小量和所有極限一樣，無窮本質上和有窮有區別，他不是乙個具體到數，是乙個過程，乙個無窮無盡的過程，乙個動態，你不能簡單按照實數來看待它，所以「差了乙個無窮小」這根本就是錯誤的說法
2樓：挖洞的simon
有些東西是很淺顯的道理。
什麼是極限，極限就是無限接近卻不可能達到。極限的使用很久就存在了，而極限的定義是很久之後才被提出的，並不斷完善。歷史上有過一次數學危機，貌似就是因為微積分，最後是柯西用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發展和完善。
這件事可以很明顯的顯示出定義的本質，定義只需要自洽即可。之所以說這些，是想說我們現有的所有科學體系都是自圓其說的體系，這一點在數學物理上體現的更為明顯。宇宙的規律我們是否全部都能掌握，至少現在不能，我們只能掌握區域性的規律，從一管而窺全貌，區域性規律運用到全宇宙是否是正確的，誰也不敢肯定。
我們的所謂科學，並不需要分辨對與錯，他們只需要在自有的邏輯體系內自洽即可，藉此解決現實中的問題，甚至解決不了也無關緊要。這和宗教本質上並沒有太大區別。
數學同樣也是如此，0.999迴圈等於1在現實是不可能存在的，你找不出0.999迴圈這種東西，0.
999迴圈也永遠不可能等於1。而數學並不一定必須反映現實，既然0.999迴圈和1如此接近，誤差如此小的情況下，為了方便，就自然而然當做1看待，這也很理所當然。
以極限為基礎，在極限這個基石上數學進行了不斷的前進和發展。而前面那麼多答主的推理證明其實並無必要，用數學的體系去證明數學的體系，永遠是正確的，因為他們本身就是融合自洽的，不然早就被證偽推翻了，有分歧的也不會讓大眾去學習。我以前學數學就很困惑，究竟什麼是定義，後來我明白了，定義說白了就是人為規定的東西，他不是一種宇宙的終極規律，它不需要分辨對錯，它只需要在自己的體系裡自洽即可。
0.999迴圈等於1，在極限，在積分這個數學大家族裡就是正確的，是絕對正確的，也是可以用推理得出的。
但是，回過頭來，數學能代表一切嗎？現今的數學就是宇宙的絕對規律嗎，永遠不會更改嗎。顯然不是。
在極限體系中，0.9999迴圈等於1是正確的，它在自己的體系裡完美自洽。但是某些人卻狂妄把它跟現實等同起來，認為0.
99迴圈等於1就是無可置疑的，是宇宙的絕對規則。這才是這個問題爭論的核心。
我雖然對數學不怎麼精通，但不妨礙我理解這個問題。
所以最後總得來說，0.999迴圈等於1在數學極限這個體系是絕對正確的。但你脫離了這個體系，並不能把它強加到現實中。
所以大家論證來論證去實在是很蠢的事情，無非就是用數學證明數學，終究是在這個框架中的，有什麼意義呢。人家直接否定你，0.999迴圈就是不能1，你又能怎麼樣，有本事跳出數學這個體系來解釋啊，你能在化學物理各種學科還有現實中都證明嗎。
這就跟傳教的人一樣，你身為馬克思主義者，直接對他說，神是假的，有本事在現實證明啊。傳教的人強行讓你信教，又不能證真，還老有優越感，說你智商低，啥都不懂，這種人真的好煩啊，實際上不懂的正是這些人。我們的科學也就像乙個宗教，他們能夠掌握一些區域性的宇宙規律，可以讓我們生活的更好，我們就都願意相信科學，覺得是無可置疑的，實際上我們掌握的知識在基礎的很大一部分，既不能證真也不能證偽，只是通過現實觀察總結人為規定的東西，就像以前的原子不可再分，只不過是在自己的體系自洽而已，只要自洽就可以接受，如此而已。
3樓：
我至今都記得我當時問小學老師時，老師的回答。
我：老師，為什麼1＝0.9，9的迴圈
老師：那你用1減0.9，9的迴圈試試？
我不假思索：0.00000（無數個0）1
老師：那它最後有乙個1位，不就與它有無數個0想矛盾了嗎？所有我們可以看做1＝0.9，9的迴圈。
我內心：感覺好有道理的樣子，但總感覺好像有什麼問題。
4樓：薛丁格的貓
實數是連續的
如果兩個數不相等，那麼這兩個數之間一定有間隙。兩個數相等，那個這兩個數之間是沒有任何間隙的。
根據實數的稠密性，任意兩個不想等的實數之間一定有另外乙個實數。
逆否命題就是說，如果兩個數之間找不到另外乙個實數，那麼兩個數就是相等的。
顯然題主說的那個問題，我們在那兩個數之間找不到第三個數，因此可以斷定兩個數是相等的
實數的稠密性證明，可以看我寫的文章
5樓：天馬
可以解釋成數字的n進製表示和實數R上的點不是同乙個東西。
然後 n進製表示（數字符號） 到實數R 的對映也不是乙個雙射的函式。
當你在問expr1=expr2時，你其實是在問eval(expr1)=eval(expr2)
問題是（你的）eval這個對映很有可能也不是well-defined的，它的定義完全取決於你的小學課本對你的暗示。
1和0.999...有沒有對映到實數R 上的同乙個點，這是eval決定的，而對映只是乙個二元組的集合，這是乙個(1,x)和(0.
999...,x)是不是同時出現在集合的問題，不是它需不需要滿足你的直覺的問題。
數學就是那麼無情。接受它或不接受它。
（當然如果你要的是expr1=expr2而不是eval(expr1)=eval(expr2)，那我倒是可以接受1不等於0.999...（畢竟兩個符號相不相等取決於它們是不是長得一樣），不然你最好不要拿小學那套運算法則來講，因為它真的就是沒有定義好，這不是你的錯）
6樓：lhw
首先對於無限小數本身就含有趨勢這種含義，列入0.3333...=1/3，當我們進行除法，當此時運算是無限，本身就是一中趨勢，因此有了極限的含義
7樓：寂寞
首先回答1為什麼＝0.9迴圈
用較為初等的方法可以解決
然後證明1不恆等於0.9迴圈
這需要用到極限等較為高等的方法
所以得出結論:1＝0.999999... 1不恆等於0.9999999...
這裡引用一下 @Schnapsidee 的方法眾所周知0.3333333....＝1/3(摁計算器就知道)0.
9999999...＝3×0.3333333.....
＝3×1/3＝1
8樓：
顯然1和0.9……均為有理數，且有理數域對加減乘除封閉。設1-0.9……=o(x)，考慮該無窮小的階數。
由無窮小中唯一的有理數為0，得o(x)=0，即1-0.9……=0。qed
9樓：
只要涉及數學概念，任何關於連續運動的一些先驗的直觀觀念，都是可以避免，甚至是必須避免的————柯西
1＝0.9迴圈這個問題是毫無爭議的。關鍵在於你怎麼理解「無窮」這個概念。題主的困難正如古希臘時代的人們無法理解阿基里斯的龜一樣，仍然把無窮當做一種無限趨近的動態過程。
實際上，芝諾的詭辯在於他認為無限的步驟是不可達到的，他不承認無限的步驟可以通過有限的時間來完成。換句話說，他認為無限的疊加一定是不可用有限的過程來度量。可這在數學上是不成立的。
因為，眾所周知，0.9，0.09，...
是收斂的(將這個級數表示式寫出其任意前n項和式小於1)，現在就是對無窮的看法，無窮個9到底什麼意思。柯西採用了一種以退為進的方式，他直接定義1可以一步度量0.9迴圈而通過有限的列舉反證：
因為這個度量的誤差小於任意你給定的正值。如果你否認他，那麼你無法找到其他的數來度量。 這也從反面說明了無窮大是比你給定的量都要大的量。
而這個過程是可能被有限度量的。
10樓：葛名
沒有原因，端賴假設。
假設1＝0.99999,則1＝0.99999。這是潛無窮小派，主要是柏林魏氏學派的追隨者，包括戴德金、康托。
假設1＞0.99999，則1＞0.99999。這是實無窮派，萊布尼茨、魯濱遜（非標）是這一派。
什麼也不假設，就什麼結論也沒有。這是不可知派，包括牛頓、高斯、希爾波特等。因為，假設無窮存在和不存在，都會推倒出自相矛盾的悖論。
另外，潛無窮小派，在無窮大上，卻是實在派。
11樓：Redot
很明顯，0.999...不在0.9，0.99，0.999，...這個序列中，所以
1=0.9+0.1
1=0.99+0.01
1=0.999+0.001
1=0.9999…+1/10
不能推出
這樣的話1和0.9的迴圈之間就差了乙個無窮小的數序列的極限不一定在序列中，這是個常識。自然，序列中的物件擁有的性質，也不一定適用於這個序列的極限。
12樓：SchnittkesTango
寫作：0.999...=1
念做：只要0.後面跟足夠多的9，就離1要多近有多近後者顯然是正確的說法，所以前者也是正確的式子。
別問，問就是定義，問就是ε-δ語言。
13樓：百萬庄
因為你以為的等號，是兩個數相等的等號
實際的等號在數學裡有很多意義，比如定義，比如對映等等。
矯情一點：
數學裡很多新的等號，意味著人類認知邊界的擴張
14樓：Kevin Wayne
我們知道，實數有乙個非常重要的性質：任意兩個不等的實數 和 之間，都存在第三個實數 。這是因為，對於任意兩個不相等的實數 和 ，我們總能找到介於二者中間的實數 ，也就是 與 的算術平均數。
以此類推，兩個不相等的實數之間必有無窮多個實數。其逆否命題為：若我們無法在與之間找到乙個實數，則它們相等。
我們在高中數學都學過：逆否命題與原命題的真假性相同。
按照這個邏輯，要想說明 ，只需說明我們無法在 和 之間找到任何實數。
假設 ，那麼存在實數 ，使得 。
根據假設條件 ，可知 0" eeimg="1"/>。
於是，無論 有多小，由於它是正數，如果表示成小數形式的話，其小數點之後必定存在不是 的數字。
因而，無論 取何值， 一定都比 要小（例如，當 時， ），這又與假設條件 矛盾。
這個矛盾說明，不存在大於 ，且小於 的實數。
所以 。
15樓：JHack
由實數的稠密性，兩個不相等的實數之間必然存在另乙個實數。因為不存在乙個數 使得 ，也即在 和1之間不存在另乙個數，那麼只能 。
那為什麼1和 之間不存在另乙個數。如果你明白「無窮」是什麼概念，那麼這個結論就是trivial的，如果你不明白，那就先理解「無窮多個9」意味著「想要多少個9就有多少個9」。
那麼假如你宣告：我找到了乙個數 它首先不等於 ，也即它後面的9是有限個的（如果它是無限個9，那麼它就等於 ），且它還大於 。
既然你的9是有限個，那麼令其為k吧。而我的9是想要多少就有多少，那我只需要k+1個9就比你的c要大了。
無論你的k有多大，它既然是有限大的，那我總能安排k+1個9出來，比你還大，為什麼我「總能」安排？因為我是無窮多的。
那麼你永遠找不到乙個小於1的有限小數使得它比我的 還大。
根據實數的稠密性，
為什麼0 9的迴圈等於1？
sun 它們代表的是同乙個數，只是不同的寫法而已。類似的問題，為什麼4 5和0.8相等，你可能說4 5 0.8，它們自然相等。那麼9 1 9 9 1 9，這個說法是否能令你滿意呢？這個問題讓人最大的困惑主要還是無限迴圈小數的含義的問題。小時候接觸無限迴圈小數是，當乙個整數除以另乙個整數時，在除法規則...
為什麼要堅持，然後迴圈，然後再堅持，再迴圈？
gry 能迴圈堅持的人一定很優秀 迴圈堅持說明你還沒有達到自己的期望，說明你是乙個追求完美的人，是乙個對自己很嚴謹的人，更是乙個對自己負責任的人。 方方很胖 其實這個無非就是乙個 量變到質變，質變到量變 迴圈的過程生物進化也是這麼乙個過程，先是繁衍，繁衍到一定程度就強者生存，在逆境狀態下逼迫你成為食...
for 迴圈為什麼不支援小數？
已登出 浮點誤差 你把中間的比較改成這樣 i 9.9 0.01 i 0 0.01 i 9.9 0.01 這樣就沒有任何問題了 除了浮點數判等誤差的原因之外，請思考下for的語義是什麼？你今天吃了三頓飯，你會不會對人描述為 第0.1頓 早飯，油條豆漿 第0.2頓 午飯，回鍋肉和公尺飯 第0.3頓 晚飯...