1樓：Mnizjc
若有所疏漏請多指正.
理解的方法並不難,用中學的知識理解應該夠了,但這種方法可能有些歪門邪道了
用求根號2做例子, ,影象如下
Geogebra不是很熟練
原函式:
求導一次:
切線函式:(c為常數,"用不著")
其中x=2和y軸都和x軸成直角,兩角相等,且α和其對頂角相等,可得 .
設 B的橫座標是,A的橫座標是
此處求的是切線x軸截距,即 時x的值
由一次函式的性質得知,影象y軸截距等於常數項,所以由 得,即
(這裡的 直接用 代替了)
如此迭代下去就變成了
x的值也就越來越趨近於
不過這只是一種理解方法,或許麻煩了點.至於其他的細節見 @馬同學 的回答.
(LaTeX真**好用(手動滑稽))
2樓：Owen Qing
(define
(abs x)
(cond
((> x0
)x)((
= x0)
0)((< x0
)(- x
))))
(define
(improvexy
)(* 0.5(+
y(/ x
y))))
(define
(precisionxy
)(-(
* yy)
x))(define (ok
num)
(if(<
(abs
num)
0.000000001)1
0))(define
(newton_sqrtxy
)(if (= (
ok(precisionx(
improvexy
)))1)y
(newton_sqrtx(
improvexy
))))
(newton_sqrt251
);;; 5.000023178253949
3樓：
覺得你們都不夠『通俗易懂』。
#include
int main()
{ int i, n;
double temp, t;
printf("Please enter an integer for its root: ");
scanf("%d",&n);
temp = n/2;
for(i=1; i<=30; i++)
t = n/temp;
temp = (temp + t)/2;
printf("\n%.16f",t);
當然，作為乙個務實的人，我也不知道這個迭代法是不是牛頓迭代法。
4樓：鍵山怜奈
說一下理論上的問題（很淺顯）。牛頓迭代法顧名思義當然是迭代法的一種，所謂迭代法顧名思義就是重複地進行某種運算。進行到何時為止全憑個人好噁，但是理想情況下應該是計算的次數越多離真正的解就越近。
為了用迭代法近似地解乙個方程，我們有兩個問題。問題一是迭代是否收斂，問題二是收斂時是否收斂於我們想要的解。
相比之下問題二比較容易回答，所以我們總是先考慮問題二。
問題二的解決辦法很簡單，因為根據收斂的原理，當我們令 時（其中 連續），如果 成立，那麼一定有 成立。因此，任何迭代操作總是可以表示成為 ，其中 是連續函式並且滿足 ；
當然了，如果 就是我們想要解的方程，那麼直接定義 就可以成為解這個方程的迭代式。
具體的例子，比如我們想要通過解 而得到 的近似值，那麼我們就可以令 ，並從 開始進行近似。以下給出資料：
x0=3.0(1位)
x1=3.1411...(4位)
x2=3.14159265357...(11位)
x3=3.1415926535897932384626433832795020...(34位)
x4=3....(102位)
x5=3....(301位)
收斂速度快的驚人，有效數字幾乎以 的速度增長。這可比 或者 之流要快得多。
當然例子不總是正面的，比如我們想要計算 的值，此時我們令 ，並試圖通過 來近似計算。從1.4開始，我們會發現：
x0=1.4
x1=1.44
x2=1.37...
x3=1.50...
x4=1.25...
x5=1.69...
我們發現它的抖動幅度越來越大，根本就沒有收斂的趨勢。要想讓它正確收斂，我們需要減少振幅，比如令 ，此時我們會發現：
x0=1.4
x1=1.42
x2=1.4118
x3=1.4152...
x4=1.4138...
x5=1.41438...
雖然緩慢但是振幅確實在慢慢地減小
更一般地，對於方程 ，我們總可以令 ； 的絕對值越小意味著每一次迭代的變化就越小，反之絕對值越大每一次迭代的變化就越大。當然了，變化小就導致收斂慢，變化大就收斂快，所以最好能在確保不影響收斂性的情況下讓 的絕對值盡可能地大。牛頓迭代法通過計算導數動態地調節 的值，因此能夠成為一種較為通用的方法。
接下來回答第乙個問題。牛頓迭代法是一種很棒的迭代法。棒就棒在它在大部分情況下都收斂，而且收斂速度就像之前我計算 的時候那樣，有效數字位數以指數級增長。
證明非常簡單，只要會洛必達或者泰勒展開就行。
令 是待解方程，滿足 二階連續可導並且 ， 構造迭代式
剩下來的問題就是計算 ，只需要用洛必達或者泰勒級數就行，真的很簡單。以下省略極限算符
反正閒得很，補個 計算好了
因此每進行一次迭代有效數字位數翻3倍
以及補個 的計算
因此每進行一次迭代有效數字增加0.3位
5樓：秋水
有乙個利用「將長方形變得更像正方形」的思路也可以得到求 的算數平方根的迭代公式
算是通俗易懂地得到了這個迭代公式（不過並沒有體現牛頓法的求導等過程，那個用拋物線的切線看是比較直觀的，別的回答裡已經有了）。
首先是考慮是面積為的正方形的邊長，如果畫乙個鄰邊不等的面積是 長方形，設這個長方形的長為，寬為，那麼怎樣能讓這個長方形變得更像乙個正方形呢？是要把長變得短一點，寬變得長一點，可以用長和寬的平均數來作為新的長 ，在面積不變的條件下，新的寬是 。這樣不斷操作下去，長方形的長和寬會越來越接近，就是一直趨近與 了。
這裡更新長方形長的方法
也就是求 的迭代公式。
附上兩張康奈爾大學的課件，來自 L1courseIntro.ppt [Compatibility Mode]，我是從這裡看到這個方法的。
6樓：翟毅飛
defsquareRoot(x
,eplison
):"""x 需要求開根號的數值 eplison 誤差值a 需要求開方的值
f(x) = x^2 - a
f(x)的一次導
f'(x) = 2x
牛頓拉復生法求開方
Xn+1 = Xn - f(xn)/f'(Xn)即 Xn+1 = Xn - Xn的偏差值/Xn的一次導Xn 為第N次迭代後開方的猜想值
"""assert
x>=0,
u"x 必須不是乙個負數 "
+str(x
)assert
eplison
>0,u"偏差值必須大於零 "
+str
(eplison)x
=float(x
)guess=x
#x開根號後的猜想值，初始為x的本身
#猜想值的2次方與 x本身的偏差值，如果誤差小於eplison誤差值，則guees為x的開方猜想值
diff
=guess**2
-xctr=
1print
"guess:
%fdiff:
%fctr: %d"
%(guess
,diff
,ctr
)while
abs(
diff
)>eplison
andctr
<=100:
guess
=guess
-diff/(
2*guess
)diff
=guess**2
-xctr+=
1print
"guess:
%fdiff:
%fctr:%d"
%(guess
,diff
,ctr
"guess:
%fiteration: %d"
%(guess
,ctr
)squareRoot(10
,0.01
)guess
:10.000000
diff
:90.000000
ctr:
1guess
:5.500000
diff
:20.250000
ctr:
2guess
:3.659091
diff
:3.388946
ctr:
3guess
:3.196005
diff
:0.214448
ctr:
4guess
:3.162456
diff
:0.001126
ctr:
5guess
:3.162456
iteration:5
7樓：
我覺得吧，不能做無用的重複，這裡已經有乙個非常詳盡的說法了，而且有乙個很棒的gif，一看就明白。
求牛頓開方法的演算法及其原理，此演算法能開任...
8樓：
只是試試.純憑印象.錯誤請指正.
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1,求方程f(x)=0的根即求曲線y=f(x)與y=0的交點的橫座標.
2,牛頓法:
也就是從估計點x0出發,以y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)作為對y=f(x)的估計,求得根x1.
x1=x0-f(x0)/f'(x0)
依次迭代.
3,關於"以y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)對y=f(x)近似的解釋"
也就是對曲線y=f(x),那麼使用經過(x0,f(x0))點的其切線,進行近似.
顯然該切線的斜率等於曲線的斜率k=f'(x0),
那麼該切線的方程為y=f'(x0)(x-x0)+f(x0).
(這裡是牛頓法的核心,也就是使用切線對曲線進行近似)
4,對於求開方
也就是求x^2=a的解
這裡f(x)=x^2-a,f'(x)=2x.
所以利用上式:
以y=2x0(x-x0)+x0^2,則其根為
x1=x0-(x0^2-a)/2x0=(x0+a/x0)/2
5,例子
x^2=2.
x0=2,
x1=(2+0.5)/2=1.4998
x2=(x1+1/x1)/2=1.4167
x3=1.4142...
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