1樓：null
外微分 和 Stokes 定理 大概是對應廣義的通量面積密度 (對應 ) 和散源強度體積密度 (對應 ), 對定向流形的邊界的積分 form 積分除以某種 維體積的密度. 或許先對 的矩形證明 Stokes 定理是更簡單的引入. 詳見這篇文章
2樓：john chen
我也是想理解外微分所以才找到知乎的這個問題，後來看了乙個網上的解答，感覺很不錯，幫助我理解了很多。
3樓：激發態的數物演算法
斯托克斯定理是普通的微積分，只是應用分析力學中的劉維爾定理而已。
1） 可積性。流形的可定向性和是否帶邊，決定了微分形式是否可積；
2） 積分區域。M是積分區域，
3） 被積函式和微分。微分形式的外微分（d Omega）是一種對映，是切空間和餘切空間的楔積，餘切空間對積分區域作用得到自變數的微分，切空間對積分區域作用得到導數。從而形成完整的積分；
4） 上下限。自己根據實際情況定。
補充和群論的關係。
1） 利用劉維爾定理（具體就是粒子數守恆），流形上的向量場同構於積分函式場，比如流體力學中的速度場u可以用流函式的等值流線fai（fai=u的積分）表示。（從這個意義上說，先有斯托克斯定理再有外微分不是錯誤的。但我還是希望從純數學開始，利用陳省身的函式芽匯出外微分。
）那麼流形上的積分曲線（有些書叫線匯）可以模擬流函式的等值線。這些線匯和原流形是同構的。所以被積區域積分後，自變數就得求導。
2） 積分曲線到原流形的對映（靠拉曳lamda）得出李導數，李導數的李括號得到李代數，李代數和李群是一一對應的。這就逼迫人們把流形看做李群。從而同調論出現。
拋磚引玉。5
4樓：羈鳥戀舊林
在微分形式這一套被搞出來以前，數學家對於微積分已經有了一定的了解，Jacobi formula、微積分基本公式、Gauss公式、Green 公式還有 Stokes 公式等。
對於微積分的計算，特別是歐式空間中的、曲線與曲面上的，也都有了一定的方法。
後來的 motivation 大概有兩個，乙個是如何把微積分定義到一般的流形上去，同時要相容歐式空間上的微積分；另乙個是，微積分基本公式、高斯公式、格林公式以及斯托克斯公式，都是描述區域內和邊界上的微積分的關係的。四者如此相似，不免讓人懷疑能不能把四個公式統一在一起。
後來如我們所知，微分形式這種定義方式，完美的解決了上面所有的問題。微分形式的定義相容了Jacobi formula，微分形式的微分相容了微積分基本公式、Gauss-Green-Stokes 公式，微分形式的積分相容了歐式空間、曲線曲面上的微積分。
5樓：上官正申
外微分可以理解為各個微向量在歐氏空間張成的體積元的體積，而行列式在歐氏意義下剛好代表體積元的體積，因此也就是微向量所構成的矩陣的行列式。又因為矩陣的行列式的乘積等於矩陣乘積的行列式，所以進行座標變換時體積元體積之間的關係是以雅可比行列式為係數的。
6樓：jRONI
我覺得我是不懂外微分的，因為我經常問自己 是什麼，卻無法言簡意賅地闡述。可是我認真看了這裡的回答後，感覺好多答案都走偏了，這樣是有誤導的。限於水平問題，只好回答長點了。
關於發展的乙個脈絡，我想表達的是，外微分和同調走的是兩條同步發展的路子：
外微分：線性對偶空間、(任意可微函式的)區域性(函式芽)線性化、線性函式的等價類(商掉常數的差異——模擬不定積分的任意常數)、微分形式、楔積構造分次代數、外代數、張量；
同調：單純形、自由生成群、正合序列、同調群；
這兩條脈絡分別依靠外微分運算元 和邊界運算元 構成了不同的同態序列：
這兩個運算元在同態方向上的對偶性是同調群和de Rham上同調的基礎。簡單地說，外微分和同調在發展的過程中相遇了，構成了Stokes定理：
或者更緊湊寫成對偶的雙線性對映，暗示了整體運算元 和區域性運算元 之間的對偶關係。
是Stokes定理聯絡了兩者，而不是通過Stokes定理就可以從同調自動得到外微分！
問題下有好幾個高讚回答有一種傾向，就是不必從根本上理解外微分，而是通過Stokes定理來得到外微分，這樣是錯的：
Stokes定理並不能保證外微分的存在、唯一性——這樣就無法借助Stokes定理從同調/流形的邊界性質定義出外微分來；
從根本上理解外微分，建議從張量上著手。當然張量又是乙個大坑。講講我覺得重要的幾點：
先把代數上的對偶空間理解了，或者說先把行向量和列向量的區別和聯絡搞定；
如果從微分流形上不好理解的概念，都可以放到線性空間上先理解，這樣當然會很trivial，不過能加快理解也是好事；
許多號稱對讀者友好的微分幾何教科書，都是先引入切空間，然後用對偶空間定義餘切空間的。然而，這樣理解的餘切空間和微分形式，未免太缺乏直觀了。說是懂了，知道了定義，其實啥也不知道。
所以仍然推薦陳省身的微分幾何講義，直接從函式的區域性線性化入手，用商空間的方式定義餘切空間。雖然這樣入手很燒腦，但這樣得到的是真正有意義的理解；
7樓：
試著瞎答一下吧。外微分和微分形式曾經被很多專業書雲裡霧裡的誤導，一直想不出有什麼形象理解。直到看到陶哲軒的講解和彭羅斯說的外微分運算與微分形式符號已經被「精心剪裁」的像經典微積分符號一樣，才恍然大悟。
雖還是個門外漢，但以下方式應該有助於題主或其它學渣「通俗易懂」，被誤導則免責。
首先微分形式和外微分是兩回事，雖然兩者都出現了「d」。外微分是對微分形式進行的乙個函式運算，d就是這個運算符號，好比求導是對函式進行的運算，d/dx就是運算符號。那麼關鍵就在於「微分形式」到底是啥東西了，因為我們知道「函式」是啥東西，所以可以借助函式影象「通俗易懂」的知道「求導」是幹嘛。
「微分形式」最土最通俗易懂的理解個人認為就是乙個「箭頭」，簡單說就是「向量場」或力場。從經典向量微積分語言出發，若把多元函式看成「勢場」，那麼就可以「微分」出乙個「梯度場」，按陶哲軒的說法，就是乙個力場平面，在上面求任意路徑的功而已。所以梯度就是1形式就是力就是一堆箭頭而已，所謂的「線性泛函」「餘切向量」「對偶向量」等高階詞彙，只要告訴中學生就是內積求功運算中那個力扮演的角色，他們也能通俗的理解。
難的是函式的求導運算結果還是函式，標量場的求導運算求出了個向量場，讓人很不舒服，不敢推廣。因為函式求導得函式，可以繼續求導繼續得函式，但標量場求導求出了一堆箭頭，你讓我怎麼繼續求導？幸運的是經典向量微積分已經教過大家向量場有個「旋度」(還是向量)，其實說白了就是一堆箭頭繼續求導還是能得到箭頭，然後再求導又是箭頭，無限下去(想象中)。
所以說白了，就是1形式「求導」完得到2形式，2形式再求匯出3形式，所以除了0形式外，就是箭頭不斷地生箭頭，其實標量不妨看作特殊的向量，所以不管函式還是散度都不妨也當箭頭。
而從1形式「求導」出2形式，這個運算就是「外微分」運算，對映符號用d。雖然是箭頭生箭頭，還是有點區別的。1形式是單純的箭頭，微分出的2形式就要求雙線性，繼續微分出的3形式就要求三線性，多線性就成張量了，但是張量也是向量，還是箭頭。
說錯勿噴
8樓：李德甲
從剛上大學就被陳先生反反覆覆地灌輸外微分，自己也花了差不多十年的時間去理解它，但最後，我發現所謂的外微分其實不是微分，而是積分。外微分只是積分換了個衣服而已。
跟外微分關聯的外代數是有乙個通俗的幾何解釋的。給定三維空間中的2個向量，這2個向量張成乙個平行四邊形，這個平行四邊形在xy平面、yz平面、zx平面分別有三個投影面積，外代數在幾何上可以視為求投影面積的計算。外微分中，給定2個一次式，外乘得到乙個二次式，在幾何上其實就是前邊求投影面積的過程，但是把乙個一次式外微分為二次式，我想了很多年都沒想明白是怎麼一回事，這個不同於微分的外微分的幾何意義是什麼？
後來，索性不想了，我自己通過另外一種方式直接引出了外微分的定義：有了各個維度的stocks公式，從中是可以抽象出乙個共性的代數性質的，這個代數性質就可以作為外微分的定義。按照這種方式引入的外微分，相當於把積分中的stocks公式換了一身衣服，本質上還是乙個東西。
換完這身衣服之後，好處是明顯的：一方面各個維度的形式各異的stocks公式有了乙個簡潔的統一公式，另一方面，各個維度的stocks公式的共性性質全部統一於外微分的代數定義中。
9樓：Yuhang Liu
「梯度」這個概念很多人大概能理解，但是梯度其實是比外微分更「上層」的乙個概念。為什麼這麼說呢？因為只要有微分結構就有外微分，但是要定義梯度則需要有度量結構，或者說內積結構如果我們只考慮向量空間的話。
在黎曼流形——如果你不知道什麼是黎曼流形，那就想象乙個內積空間或者直接假設 就行了，梯度 和全微分 df 互為對偶，也就是說 =df(X)" eeimg="1"/>。從這個角度來說，你把全微分 df 看成梯度就行了。
當然這個只是函式的外微分，如果是對更高階的微分形式的外微分呢？在 裡面，還是按照我上面提到的對應——實際上就是各個分量的對應，1形式的外微分對應旋度，2形式的外微分對應散度，3形式的外微分＝0 因為3維空間裡面沒有4形式。所以在這種語言框架下，你就可以看到 裡的狹義Stokes公式以及高斯散度定理都不過是廣義Stokes定理的特例：
。當然我這麼說肯定會有人說不嚴格，但沒辦法，既然要通俗易懂那我只能犧牲嚴格性；要嚴格定義外微分，你得先定義微分形式，那還得先定義流形上的餘切叢。。而且梯度和全微分在座標分量上的簡單分量對應僅僅是對 上的標準內積成立，如果不是標準內積還得乘係數矩陣。但這些對於想要乙個通俗易懂的答案的人來說大概都不重要了，很多人腦子裡向量空間自動等同於 帶點積作為內積，你要跟他說向量空間也可以帶其他正定二次型作為內積，也可以不帶內積，他估計像看外星人一樣看著你，不知道你想說什麼。
當然再通俗易懂，也得學過多元微積分才能看懂外微分。沒學過微積分或者學過但是忘了的人，你們說不懂我也沒辦法了。。再通俗也得有個基本的門檻吧。。
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