1樓：Prophet
其實根本沒有什麼「等價無窮小」。
萬物皆可泰勒，泰勒形式意在估計。
你所了解的等價無窮小，只是泰勒形式的第一項或前兩項（Taylor公式閹割版）。
在乘積運算中，應用等價無窮小確實沒什麼問題。高次項與高次項之積，只會得到乙個更高次的因式。這種情況下，可以忽略那些不重要的高次項。
假設泰勒展開式以 a 為參考點，自變數是 x，且 x 與 a 很接近，那麼當 (x-a) 的次數越高，這個式子就會越接近零。所以在泰勒展開式中，我們往往只關心它的低次項，而更高次項的代數式則「不重要」，因為它們更加接近於零，你可以忽略不計——這也是人們習慣將泰勒形式倒著寫（公升冪排列）的原因。
乘積運算，可以不考慮高次項，但是加減運算則沒有那麼簡單，例如：
當 x→0 時，求極限 tan(x)-sin(x)/x^3 = ?
先來看分子部分，如果你用所謂的「等價無窮小」，用 x 直接替換 tan(x) 和 sin(x)，那你完蛋了——分子變成了 「0-0」！
這看起來似乎沒錯，但是你不能算！本題使用Taylor公式閹割版是行不通的，除非你知道「零比零」是什麼鬼。
想要計算就必須考慮完整版的泰勒形式，先把三角函式用冪級數展開：
tan(x) = x+x^3/3+o(x^3)
sin(x) = x-x^3/6+o(x^3)
這兩個函式的泰勒展開式，首項是相同的，直到第二項才出現差異，所以你不能直接用首項1減去首項2，而應該用前兩項1減去前兩項2——直到你減出乙個不為零的差值！
所以極限中的分子部分應該寫成
[x+x^3/3+o(x^3)] - [x-x^3/6+o(x^3)]
時刻注意，泰勒形式的加減要帶上皮亞諾餘項！
可以得到
(x+x^3/3)-(x-x^3/6)
所以在該極限表示式中，分子 = x^3/2
x 趨於零但不等於零，所以可以用分子直接除以分母 x^3，計算結果為 1/2
2樓：
乘除用等價，加減用泰勒，記住這一句話就行了。
說什麼加減法中精確度夠就能用等價無窮小，這就是徒增不必要的概念，實際上這就是用泰勒展開，所謂精確度夠其實就是泰勒展開的餘項與分母匹配罷了。
上題中，那些人說 精確度夠，所以就可在加減中使用等價無窮小代換——求求你們把餘項帶上吧，寫個皮亞諾餘項有這麼難嗎？寫出來才不容易出錯好吧。
為什麼加減能用泰勒展開？因為泰勒展開是乙個等式！他是把函式用多項式近似，然後把誤差的部分全部無腦歸入餘項，而可以證明這個餘項是乙個高階無窮小！
為什麼等價無窮小只能用於乘除？因為等價無窮小代換的原理是極限的乘法運算法則！
設 都是自變數趨於同一極限時的無窮小，且 （即它們是等價無窮小， ），
則 等價無窮小 中根本不涉及加減，怎麼用於加減？
當然其實乘除也能用泰勒展開，任何情況都能用泰勒展開，因為泰勒展開是乙個等式。
3樓：楊樹森
用特殊技巧代替系統理論，就會遇到很多難以解決的疑問。你確實不必在一些定理證明上費功夫，但是基本概念和基本理論是怎麼也不能繞過的。
所以 但是 不能泰勒展開。
設 是所在函式沒有零點的無窮小，且 則
所以當無窮小作為分子或分母的因數時，可以用等價無窮小替換。
有關加減法的事情，需要重新認識等價無窮小的內涵才能解決。由 得到於是 此時若 則
但是這並非一定成立，因為有可能成立 如果是這樣，就有不成立 的可能。
舉個例子。取 則
所以不成立 事實上，成立
如果改取 那麼
於是雖然 但是 事實上，成立
所以說在加減法中用等價無窮小替換不一定不行，可是判斷行不行，相對而言是一件困難的事，所以沒有這個必要。
4樓：
乘除裡用是沒有問題的，只不過在加減法裡要慎重。實際上等價無窮小的本質就是Taylor公式展到低階的形式，在學習完Taylor之後就會明白所謂精度只不過是用Taylor展到高階表現出兩個量之間的差異來了
5樓：
把要用等價無窮小替換的地方改成用泰勒展式替換，如果你發現展式的第二項對求極限有用，不能忽略，那麼這裡就不能用等價無窮小替換。如果只有第一項有用第二項開始後面的項都可以忽略，那就可以用等價無窮小替換。
為什麼在求極限時有時候不能用等價無窮小替換？
Erving 其他答案都對，補充一點個人經驗 我之所以會有這個困擾，是因為泰勒展開帶來的。因為等價無窮小代換實質上是泰勒展開式中得來的 泰勒展開中，sinx x o x 在加減法和乘除法中都可以用 當然sinx還可以繼續展開，視具體情況而定，注意A B型的要滿足 上下同階 A B型的要滿足 冪次最低...
在一天中什麼時候鍛鍊最好？
超級隊長漢勤 結合個人時間分配以及鍛鍊內容來吧。每個人都有自己的工作和生活，目前也沒有權威資料得出什麼時候是最合適鍛鍊的結論 有的人喜歡在清晨伴著緩緩公升起的Sunny跑步，有的人喜歡傍晚揮汗拉單槓 有的人運動後一時半會汗流不止，比如我，曾經嘗試過清晨跑步，但發現洗澡後遲遲不能停止出汗，很影響我接下...
在物理學中，為什麼在求解方程時有時會用到無量綱化處理？無量綱化會簡化方程？
長沮 有時候無量綱化能更快看清物理問題，這裡舉個不算解方程的例子 考慮用矩陣力學方法處理一維諧振子時，為了寫出產生和湮滅算符，先把座標算符和動量算符無量綱化，這樣座標和動量的對稱性更加明顯，寫出產生和湮滅算符也更加自然.用波動力學處理時，也用了無量綱化處理，自己動手解解薛丁格方程就能體會到好處了. ...