1樓：薛丁格的小學習
最近在學習博弈論，就想用博弈的思想來分析一下這句話。
先說結論：在一定條件下，這句話沒錯。
（先說好，我不是文科生，各位放心，我不講車軲轆話，這個「一定條件」我會給出明確定義的。）
先給大家介紹博弈論裡面的幾個概念。
A repeated game is an extensive form game that consists of a number of repetitions of some stage game.
打個比方，兩個人玩一次石頭剪刀布就是乙個normal game（stage game），那兩個人一直玩石頭剪刀布就是repeated game。
這是repeated game中常用的策略。那麼這種策略和「人不犯我我不犯人，人若犯我我必犯人」是很像的。我們把這種樸素的思想放在博弈論中來理解一下。
Start outcooperating. If the opponent everdefects,defectforever.
就拿很著名的囚徒困境（prisoner's delimma）來舉例。囚徒困境一般這樣說：囚徒A和B如果都認罪，那麼各判4年；如果只有一方認罪，那麼認罪的一方判1年，另一人判5年；如果兩人都不認罪，那麼各判2年。
在囚徒困境中，兩人都不認罪就是cooperation，某個人認罪了就是defection。
將這乙個策略進行進一步的解釋，比如現在有張三和李四這兩個罪大惡極的人。這兩個人把刑法上所有罪都犯了一遍（我們可以假設刑法上所有的罪的懲罰都是一樣的），我們必須要對他們犯下的罪進行逐一判刑，即對每一次犯罪進行審判。
那麼，兩人現在已經落入法網，他們每個人唯一能做的就是盡可能讓自己少判幾年，那麼此時張三和李四之間就需要進行repeated game。
可張三畢竟不是普通人，他很有經驗。在被抓前，他摟著李四說：「四兒，以後咱們倆要是進去了，是男人就不要出賣兄弟！如果你出賣我了，我就會不惜一切代價報復你。」
李四盤算了一番，真誠地說：「我怎麼會出賣你呢，我們是兄弟嘛！」
那麼在這個策略下，張三和李四都會選擇一直不認罪，兩人都獲得了最少的判刑。
現在來解釋下，為什麼會有這種結果發生呢？
我們來對上述的場景進行建模，同時稍微加入一點假設。
假設1：張三和李四犯了無數的罪。
假設3：因為本次證明主要是想比較李四背叛與否對其判刑年數的影響，此處不妨假設在第一輪的時候李四就背叛了張三。（更一般的情況結果也是一樣的，感興趣的朋友可以自己算一下）
此時，我們來計算一下在這種策略下李四可能的判刑年數：
如果李四一直與張三合作，也就是一直拒絕認罪，那麼他的判刑年數為
如果他有一天背叛了張三，也就是在某一輪中認罪了。因為張三沒有提前知道仍然在審判中拒不認罪，因此李四僅獲判1年，而張三會被判五年。當然，接下來不管李四如何請求原諒，張三都會義無反顧地選擇認罪，跟李四同歸於盡。
而李四也知道張三的做事原則（即trigger），所以他也會繼續選擇認罪，以防止自己被判5年。因此兩人就會在之後的每輪中都選擇認罪，各判4年。因此，他的判刑年數為
經過非常簡單的計算，我們可以發現
當 \frac" eeimg="1"/>時，李四選擇一直與張三合作；
而當 時，李四會選擇背叛張三。
但是，一般來說我們不會那麼仁慈，讓張三和李四減刑這麼多，通常我們會把p設定為0.999999，因此李四會選擇一直與張三合作，一直不認罪。所以，正常情況下，張三和李四都會選擇一直不認罪，兩人最後都獲得了最少的判刑。
最後得到結論，在滿足一定條件的情況下（例如，p大於三分之一），「人不犯我我不犯人，人若犯我我必犯人」這句話是沒錯的。
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