一根均勻的彈性繩處於拉伸狀態，問繩上每處彈力是否相等？為什麼？

1樓：

需要以下假設:

[1] 不考慮重力, 磁力等, 系統只有彈性本構.

[2] 線彈性假設, 不存在塑性, 黏性, 不存在大變形.

[3] 繩子彈性係數均勻分布.

[4] 繩子處於靜平衡狀態.

[5] 不考慮體力.

[6] 兩端邊界條件為均勻載入, 不存在任何其他力和約束, 一維變形.

如果滿足以上假設, 則每處彈力相同.

求解:應力 = (兩端的力/截面積) / 彈性模量根據線彈性力學解的唯一性, 此解為唯一解.

2樓：靈動之翼

輕繩的話，大多數情況下相等。有打結，或有繩子方向突變的情況時，可能不相等。

首先我們來推導，為什麼大多數情況下輕繩彈力處處相等。由於輕繩質量不計，根據F(合)=ma，無論繩子是否有加速度，合力必須為0。我們取一根輕繩中任意一段，它的上方和下方都受到彈力，如果輕繩的這一段只受這兩個力，那麼由於合力為0，這兩個彈力的大小必須相等。

而由於輕繩的一段是任取的，所以輕繩每一段彈力都要相等，即輕繩彈力處處相等。

但從上面的分析也可以看出來，這個推導假設了「輕繩中間部分任意一段只受兩端的彈力」，如果這個條件不成立，顯然結論就不一定了。所以，如果繩子有打結，那麼打結的部分不僅受彈力，而且受到緊挨著的繩段的摩擦力，所以打結處就會破壞彈力的處處相等性。

另外，為什麼繩的方向有突變的情況也會破壞處處相等性呢？我們來看下面這個例子(圖是借來的，侵刪)

(b)圖的繩子，方向在A點不連續。我們取A點上方緊挨著A點的一段繩子為研究物件，會發現它的上下方彈力方向不是相反的，這意味著即使這段繩子上下方的彈力大小相等，兩者的合力也不是0，需要再加上A點給予的支援力才能令合力為0。此時之前「彈力處處相等」的證明過程就失效了，事實上這裡的彈力確實不相等。

像這種方向突變的情況，在數學上叫做「連續但不可導」，這樣的繩子彈力也不是處處相等的。

那麼如果繩子彎曲，但這個曲線可導，繩子的張力還處處相等嗎？大多數情況下，答案仍是肯定的，有下面這個「玄學」的證明方法：任取輕繩上的一段，只要這個曲線可導，只要任取的這一段足夠短，兩邊彈力的方向就會趨於在同一直線上，那麼為了讓合力為0，兩者的彈力大小就必須相等。

那麼，如果還有外力呢？事實上一定有外力，否則繩子在張緊的同時不可能保持彎曲，但是當我們取的繩段足夠短的時候，外力通常也會趨於0，因為外力往往不是作用在繩子的一點上，而是作用在一段繩子上。但若有一些特殊情況，如一根針扎在繩子上，此時外力作用於繩子的一點，就不趨於0，此時彈力也確實不是處處相等的。