1樓：Colliot
@ShepherdZHT 的是正解。本質上就是對 n 次多項式作 n + 1 次差分一定變 0。
至於為啥 n 次差分長得跟二項式展開一樣，那是因為差分是兩個交換的線性運算元的差，所以它的乘方可以展開。
簡而言之，差分運算元 定義為 ，那麼它實際上是恒等運算元 和位移運算元 的線性組合，實際上 ，而且 ，所以有：
顯然 ，而 ，故得題式。
2樓：張一釗
只需注意到 ，其中 是第 個 Eulerian polynomial，是乙個次數為 的多項式。
通分後考慮兩邊 的係數立得題目中的恒等式。
3樓：Horizony
經 @aqiuphy 提醒，答案已修改
(不過看著現在這個證明挺麻煩的)
本質應該是下面這個等式
p,p\in \mathbb N)" eeimg="1"/>（其實 不用從 開始求和，不過看著舒服）
在式子中定義
先證明一下這個等式
在 的時候，根據二項式定理上式顯然成立
假設在 時，等式成立，那麼 q+1" eeimg="1"/>再把 寫成 ，且注意到 q" eeimg="1"/>根據數學歸納法，知等式成立
我不太喜歡題目裡面式子的形式，把它換成下面這個樣子，反正是等價的不過，其實像這樣形式的都是對的
p)" eeimg="1"/>
的時候顯然是對的，而 的時候
左邊乙個求和顯然為 ，而右邊就是我們剛剛證明過的求和，因此然後，積分就完事了
假設在 時等式成立
因此成立，故 p" eeimg="1"/>
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