1樓：
恭喜鄒益健去Guifre Vidal那裡。
我之前的回答對於物理學家來說乙個數值解有多大意義？ - 知乎使用者的回答，介紹過Tensor Network States的一些背景。
當考慮乙個多粒子系統時，系統的希爾伯特空間的維度會隨著粒子數的增長而指數增長。但我們所要研究的物理系統的physical state 只會佔據其中很小的一部分。所以我們需要找到一種方法來找出那個有效的較小的空間。
這種方法就是DMRG， 它在一維系統是非常成功的。這種方法極大地推動了強關聯領域的研究。
人們發現DMRG之所以取得成功，背後的物理原因在於，很多物理體系，其子系統與剩餘部分之間的糾纏熵滿足面積定律。而DMRG就是根據糾纏來找到那個較小的空間的。
後來，人們又發現由DMRG得到的系統基態波函式，它的形式是矩陣乘積態 MPS (matrix product state)。就是說，基態波函式的在基矢上的投影，也就是很多係數，總是可以表示為一些特定的矩陣的乘積再求跡。 矩陣的維度反映了系統內部之間的糾纏。
矩陣維度最小為1，表示的態為直積態，它表示系統內部沒有糾纏。矩陣維度越大，它所能表示的希爾伯特空間就越大。
有了這樣的認識後，人們可以直接將一維體系的基態波函式寫成MPS，其中矩陣的元素都是待定的。有了這樣的變分波函式和哈密頓量，可以求出矩陣的元素，從而得到基態波函式。
根據MPS滿足面積定律，人們把一維系統的MPS形式推過到二維，構造了二維情況下滿足面積定律的波函式，相應地，矩陣變成了張量（這裡的張量不是物理量），PEPS 就是一種。 一維情況下，在相變點附近，物理系統的糾纏熵滿足其他形式，而不是面積定律，由此構造的波函式形式就是 MERA。一維和二維的波函式形式，統稱為 Tensor Network States.
Tensor Netwrok 有什麼用呢？
1. 統計物理中，格點系統的配分函式，總是可以寫成 Tensor Network ， 能夠可以很好地進行數值求解。換句話說，統計物理的中大多數問題，都可以用Tensor Network 來解決。
2. 強關聯系統的研究。強關聯系統的重要性可以參考之前的回答。
目前凝聚態物理最前沿的物理，絕大部分都是強關聯系統呈現的性質。利用Tensor Network 構造出強關聯系統的基態，為求解強關聯系統開闢了新的途徑。並且由Tensor Network 還可以刻畫很多有趣的物理，如Many-body Localizaiton，Topological phase等....
3. Ads/CFT(共形場論）， Lattice gauge theory 。。。
Tensor Network 是最近十三年才發展出來的，是乙個非常年輕也極有潛力的領域，還在處於迅速擴張期，有很多任務作可以做。Tensor Network State 已經在強關聯領域取得了很多重要的成果，目前也正在和共形場論，格點規範理論等結合。很有可能形成乙個大的框架，將其他理論容納進去。
國內主要做tensor network的研究組（排名不分先後）：
1. 向濤老師組（中科院物理所），他的學生謝志遠（中中國人民大學）
2. 蘇剛老師組（中科院大學），他的學生李偉（北航）及冉仕舉等
3. 王孝群老師組（上海交大）
4. 周煥強老師組（重慶大學）
5. 高英哲老師組 (國立台灣大學）
6. 汪玲老師組（北京計算科學研究中心）
7. 韓永建老師組（中國科大）
8. ....
國際做這方面最好的幾個組(排名不分先後）：
1. Steven White （DMRG提出者）
2. J. I. Cirac 德國馬普所
3. Frank. Verstraete， 維也納大學
4. Guifre Vidal , PI
5. Frank Pollman
6. Dong-Ning Sheng
7.......
這是乙個新的領域，也是乙個很有前途的領域！
2樓：鄒益健
2016.11.23更新。現在來PI已經兩個多月了，又了解了一些知識。
1. 在1d noncritical的系統中基態糾纏為常數，但critical的系統中，糾纏正比於log L，其中L為系統的尺度。MPS的糾纏有上界，因此只能描述noncritical的系統或者critical系統的短程關聯。
能更好描述critical系統基態的是MERA。
2. MERA起源於entanglement renormalization，是一種block spin renormalization。但它不是直接block spin（這樣會積累短程關聯，使得RG flow中產生太多irrelevant terms），而是先通過disentangler去除短程關聯。
做RG變換會自然誘導出乙個樹形tensor network（表示從original lattice到coarse grained lattice的變換），這個tensor network就是MERA。可以用MERA提取critical system的conformal data。
3. 現在發現不同的coarse grain方法對應於不同的tensor network。如DMRG對應的是MPS，Tensor RG對應的是tree tensor network，而entanglement renormalization對應的是MERA。
它們的糾纏模式的特徵不同，適用於不同的系統。
4. MERA和CFT可謂有天然的聯絡，二者都是在conformal transformation下不變的系統。現在已經可以實現對MERA的local conformal transformation，從而使得從MREA可以構造整個CFT。
作為即將去PI師從Guifre Vidal的小小本科生，讀過幾篇文獻，個人理解如下：
1. Tensor network用圖形表示系統的糾纏，由於實際系統的基態和低激發態的糾纏熵符合面積定律，與Tensor network態一致，故Tensor network態能簡潔地表徵凝聚態系統的狀態，同時方便對態作各種運算，如求密度矩陣，局域力學量平均值和約化密度矩陣。因此Tensor network是凝聚態系統模擬的有效方法。
（如密度矩陣重整化群方法，DMRG）
2. 不同圖形代表不同的糾纏模式，使得它們可以各自適用於具體的物理問題。例如矩陣乘積態（MPS）能表示many body localized系統的本徵態。
3. 與場論和重整化群有天然的聯絡。Continuous MPS和MERA（Multiscale entanglement renormalization ansatz）對應的網路圖本身就有標度變換不變性。
4. 與其他學科的關係：如MERA可以作為AdS/CFT對偶的乙個具體的實現方式，用於量子引力的研究。Tensor network與神經網路有類似處，可用於機器學習的研究。
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