1樓：我們走了一些彎路
題主說的那種上面是1，下面是1/2pi 的形式也是可以的。看樓上的回答貌似這是量子力學裡的，沒有學過量子力學不懂。題主說的那種形式在通訊裡用的比較多，題主有興趣可以看一下奧本海姆的《訊號與系統》，裡面用的就是你說的那種形式。
然後個人覺得通訊裡用題主說的這種形式目的貌似只有乙個就是把衝擊函式的頻域響應歸為1，像答主 @丁凌雲 說的那樣。
個人覺得題主書上那種變換形式更好一點，因為在做正交變換的時候只做了旋轉，沒做放縮
才反應過來，為什麼七夕節我要在這裡算傅利葉變換！！！
2樓：
你這本是量子力學吧，前段時間看過，不過物理知識陌生的太多就棄了。
數學上fourier變換不用乘係數也是可以的。你說的如果係數是1，公式（3）前面寫成（1/2pi）是可以的，很多書上用的就是這種形式的，這種情況下單位脈衝函式被變換成1。
另一種形式是這裡的乘係數sqrt（1/2pi），與其等價的是利用變數替換把乘的係數提到exp這個指數上面去，指數上多乙個。感謝楊君齊的提示，這種情況下傅利葉變換是酉運算元，那就有很多很好的性質。比如酉運算元有保距變換的性質，可以保證波函式歸一性等性質。
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