1樓：hcheng
在有理數集中取一嚴格遞增且收斂於的數列，特別地，可以將該數列取為
0, \exists N\in \mathbb+" eeimg="1"/>使得 N" eeimg="1"/>時有. 於是對於 0, \exists N_0 \in \mathbb+" eeimg="1"/>使得N_0" eeimg="1"/>時有. 由於是嚴格遞增的有理數列，所以即是與之間的有理數。
2樓：豆沙麵包
當 1" eeimg="1"/>時，易知存在有理數
當 時，存在正整數 滿足 1" eeimg="1"/>。由1知存在有理數 ，故而此時存在有理數
因此在任意實數區間 中存在有理數。進一步，上面的 有無數個取值，因此對應的有理數有無限個。
3樓：
為方便打字，記β=根號2。
β＞a，所以 β-a＞0
取大正整數M使得M＞2/(β-a), 則βM-aM＞2。
所以開區間(aM,βM)中至少有乙個整數，設其中最小的是N。
於是 aM＜N＜βM
於是a＜N/M＜β
以下答案適用於a是有理數
2-(a+t)=(2-a)-2t(a+t), 所以只需要找個充分小的有理數t使得 2t(a+t)＜2-a即可。
放心大膽地往小了取t，比如1/10, 1/100,1/1000000000000000 這樣，只要分母足夠大，2t(a+t)就能足夠小——
事實上。若a≤0，取a+t=1即可。若a＞0，易知2＞a＞0 。
取正整數M＞6/(2-a), 令t=1/M, 則 0＜a+t＜3, 2t(a+t)＜6/M＜2-a， 符合要求。
4樓：
不去說一些高等數學的名詞。從中學的角度這個問題來說說這個問題。
我們對任意不相等的兩個實數作差，會等到乙個不等於零的數，不妨設其為b。我們可以證明，對任意的實數a，［a，a+b］(這個符號表示所有大小在a和a+b之間的數，包括a和a+b)中間肯定存在有理數。
我們回憶一下有理數的定義：可以寫成兩個整數之比的數為有理數。現在我們考慮這樣的有理數1/n， n為正整數，那肯定存在乙個整數N，使得1/N 小於b。
現在考慮1/N的整數倍，假設有1/N的整數倍落入［a，a+b］中，那麼這個區間自然存在有理數，如果這個區間中沒有1/N的整數倍，那麼考慮小於a的1/N的整數倍中最大的乙個，不妨設其為M/N, 那麼(M+1)/N, 肯定大於a+b， 但是(M+1)/N-1/N=1/N, 這就和1/N小於b矛盾了，所以任意這樣的區間肯定存在有理數。
這個證明的關鍵點在於那裡呢，乙個是存在1/N小於b，乙個是小於a的1/N的整數倍的最大的乙個的存在性，對於中學階段的讀者來說，理解這兩個事實應當並不困難。
5樓：荊哲
如果a的整數部分小於1，那麼a和根號2之間有1。
如果a的整數部分等於1，而a的小數部分和根號2的小數部分前n位都相同、但是第n+1位不同，那麼根號2擷取整數部分1和小數部分前n+1位的有限小數，就是答案。
如果a的整數部分為1，小數部分和根號2完全相同，那麼a就是根號2，小於號不成立。
這套方法不僅僅十進位制管用，對任何大於等於2的整數b，b進製都管用。
同理，根號2可以換成任何實數，有理數無理數都行。但是如果是b進製下的有限小數，為避免歧義，建議換種進製，或者寫成0迴圈的形式而非b-1迴圈的形式。
6樓：牛頓燉牛
可以加強到任意兩個實數a,b。不妨設a則 1 < bn-an，因為bn到an距離大於1，所以必然中間存在乙個整數m，即an < m < bn。
可得a < m/n < b。
補充：證明下1/n的存在性，其實也就是實數的阿基公尺德性：若x,y∈R且x>0，則必存在乙個n∈Z*使得nx > y。
設A是所有nx的組成集合，若n不存在, 則y是nx集合的乙個上界，那也就存在乙個 α = supA。因為x>0,所以 α-x < α，且α-x不是A的上界，則必然存在乙個m使得 α-x < mx，即α < (m+1)*x∈A。這是不成立的,因為α是A的上確界。
所以必然存在n，使得n*(b - a) > 1。
7樓：
別的答主已經給了具體的構造了，這裡我就不重複了。我主要說一下像這種直觀的命題的構造思路。
已知a《根號2，那說明a與根號2之間有間隙（他們的差大於0）。因為我們的目標是找乙個有理數，而有理數是把整數平分成若干等分的數，所以我們如果要構造某個有理數，自然而然的，第一步就是把某個物件n等分。這裡這個物件就是a和根號2的間隔。
注意到無論這個間隙有多小，總存在乙個1/n小於這個間隙（這是實數域的阿基公尺德性質）。換句話說，我們知道肯定存在某個正整數m使得m/n在a和根號2之中。接下來我們就要定位這個m。
從直覺上講，超過a的最小的m/n應該滿足這個性質。而這個最小的存在性就是由實數的最基本性質，最大下界性質，保證的。剩下的就只是按部就班地證明這個構造是對的。
8樓：
這個很簡單。
首先，因為a<√2，那麼取N為比-(log((√2)-a))/(log(10))大的任意整數，自然有10^(-N)<(√2)-a成立。
我們取有理數數列
b_0=1
b_1=1.4
b_2=1.41
此時0<√2 - b_N<10^(-N)
而10^(-N)+a<√2，√2<10^(-N)+b_N，所以a 9樓：sumeragi693 兩個不相等的實數之間，必然存在有理數（從而有無數個有理數）。 這叫做有理數的稠密性，如果實數是通過有理數列來定義的話，這個結論是非常好證明的。 實數的有理數列定義：每乙個收斂的有理數列（每一項都是有理數的數列）都叫做乙個實數。如果極限為有理數的，就把這個數列叫做有理數。如果極限不為有理數的，就把這個數列叫做無理數。 顯然乙個實數要麼是有理數，要麼是無理數，它完全靠該實數對應的有理數列來決定。 根據極限的性質，無論數列 決定的實數 是有理數還是無理數， 0" eeimg="1"/>，區間 上都存在數列 的無窮多項，也就是說在區間 有無數個有理數。 因 是任意的， 和 也都是任意的，這就意味著任意兩個實數之間都有無數個有理數。 2354 首先考慮p q的情況，顯然 p不是有理數，因此若 p p 2 p 為有理數 a b 那麼就可以推出 p a 2b 是有理數，矛盾 接下來考慮p q的情況，這種情況下pq不是完全平方數，因此 pq 為無理數，假設 p q a b 是有理數，兩邊平方得p q 2 pq a b 因此就有 pq ... 求知者 是我了初二的時候 給英語老師興沖沖說了今天我生日 然後老師笑著和我說了英語的生日快樂 我愣住了 感覺有烟花在心裡炸開了 好像有6年了吧，還記得挺清楚。 今天有個同學過生日，然而她前幾天就告訴我了，而且說了幾遍！我回她祝你生日快樂！然後今天在課堂上組織全班給唱生日歌，開唱前，有個同學說還有個同... 大餅知乎分餅 根號二相對於 很平常，要說 最重要 還是在e，畢竟是蘊含自然之理的無理數。因為有理數本身是乙個 人為做出 的規定性的符號集，且對一些運算完備。所以2的2分之1次方也沒什麼特殊的。我是腦子瓦特了才會答這麼睿智的問題 歸客 我不知道你說的重要性是指什麼，但是兩者的歷史都很有趣 派 現在最早...p 和 q 是質數，怎麼證明根號 p 加根號 q 是無理數？
學生給老師說明天是他的生日，老師該怎麼說？
同樣是無理數， 和根號 2 在重要性上是乙個等級的嗎？