1樓：hashable
首先，問題中的時間等同於取的次數
最開始，盒子裡有0個紅球m個白球，取到白球所需要的期望次數為1次當盒子裡有k個紅球，m-k個白球時，取到白球所需的期望次數是m/(m-k)次
原題的過程可以分解為以下步驟
1. 0個紅球，m個白球，取到白球的期望次數(取到後就把他塗成紅色，從而進入步驟2)
2. 1個紅球，m-1個白球，取到白球的期望次數(取到後塗成紅色，從而進入步驟3)
3. 2個紅球，m－2個白球，取到白球的期望次數m－1. m-1個紅球，1個白球，取到白球的期望次數此時所有球都是紅色，over
所以把上面步驟所需的期望次數相加即可
所以答案是1+m/(m-1)+m/(m-2)+...+m
2樓：dsyue
設全部塗成紅色的時間期望為A，即取球次數。
A=t（塗第乙個球）+t（塗第二個球）+……+t（塗第m個球）=m/m+m/(m-1)+m/(m-2)+……+m/(m-(m-1))
=m（1/m+1/(m-1)+……+1/2+1/1）=m（1+1/2+1/3+……+1/m）
=m*調和級數m項和
=m*（ln（m）+ r ）
r為尤拉常數，約等於0.577218。
————修正一下
調和級數前m項和沒有確定公式描述，上面那個是m趨於無窮時的近似表示式
3樓：
我們一步一步來思考，初始狀態是：0紅m白，最終狀態是：m紅0白。
記住，白球是被乙個乙個塗成紅色的，m紅0白之前的狀態是：m-1紅1白，m-2紅2白，m-3紅3白......
我們實際需要算的就是：(m-1紅1白-->m紅0白的期望時間)+(m-2紅2白-->m-1紅1白的期望時間0紅m白-->1紅m-1白的期望時間)
這很容易算：
m-1紅1白-->m紅0白的期望時間 = mm-2紅2白-->m-1紅1白的期望時間 = m/21紅m-1白-->2紅m-2白的期望時間 = m/(m-1)0紅m白-->1紅m-1白的期望時間 = m/m = 1所以結果是：
4樓：
數學期望的遞迴特性：
飛行棋大家都玩過吧，應該知道每次拋到6，就有一架飛機可以出門了，那麼問你一架飛機可以出門的時候，拋篩子次數的數學期望是多少？
你估計會毫不猶豫的說是6（P=1/6，E=1/P=6），但是你思考過深一層次的原因嗎？
好吧，我來告訴你，我們記拋6的期望次數是E，如果第一次拋的是6，那麼就是1次，概率是1/6;如果第一次不是6呢，那麼次數是1+E，概率為5/6;
那麼 E = 1 * (1/6) + (1+E) * (5/6),你可以很容易的解出 E = 6
上面加粗的紅色字型用的就是類似乙個遞迴的概念，希望你能理解吧，不行的話，那只能自己去努力理解了，呵呵。
現在我們開始解答上面的問題：
令P[i]代表M個球中已經有i個球是紅色後，還需要的時間期望，去將所有球都變成紅色。
So，給出遞迴式：P[i]= (i/M) * P[i] + (1-i/M)* P[i+1] + 1
我相信大家都能理解這個公式的含義，不過還是解釋一下，在P[i]的情況下，我們選一次球，如果是紅球，那麼概率是i/M，子問題還是P[i]，如果是白球，那麼概率是1-i/M，子問題是P[i+1]，注意你當前的選球操作要計算在內，即一次。
化簡如上遞迴式得：P[i] = P[i+1] + M/(M-i)，顯然P[M] = 0;
所以：P[M-1] = P[M] + M/1
P[M-2] = P[M-1] + M/2
P[0] = P[1] + M/M
最終答案：
0 + M/1 + M/2 + M/3 + … + M/M
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