1樓：劉醉白
這個問題可以抽象成乙個圖論問題:求對乙個n個頂點的圈用m種顏色著色的正常著色個數，也就是要求它的顏色多項式。
下面統一用k替代m，只是乙個字母的替換。
定義如下:
若用n種顏色給G的各頂點著色，且鄰點異色，則稱此為G的乙個n(點)正常著色。
鄰點的意思是這兩個頂點有一條邊相連。
用3種顏色對點已標誌的3點樹正常著色，有12種不同的著色方式。若圖大一些(點多)，所用顏色也多一些，則著色方式會非常多。例如，用11種顏色對點已標誌的9點樹正常著色，竟有11億種，列舉法已不可行。
用P(G,k)表示用k種顏色對點已標誌的圖G正常著色的方式數，且G給定，則P(G,k)為k的一元函式。但G不同，P(G,k)未必相同。
多項式P(G,k)稱為G的顏色多項式。它是2023年由美國數學家白克豪夫(Birkholl)引入的，當時的意圖是想從P(G,k)的研究來證明四色猜想，即證明：P(平面圖,4) > 0.
下面有乙個公式:
公式裡的G-e意思是去掉一條邊e得到的圖，G·e意思是把這條邊e的兩個端點縮成乙個點得到的圖
圓中的每個扇形抽象成乙個點，兩個扇形相鄰對應著這兩個扇形對應的點之間連一條邊，那麼這個分成n個扇形的圓抽象成乙個n個頂點的圈，也有的把圈叫環圖。
比如下面將圓四等分
對應的圖為4個頂點的圈
圖G這個4頂圈的顏色多項式等於下面兩個圖的顏色多項式的差
圖(G-e):去掉一條邊e得到的圖
這個圖的顏色多項式比較好求，運用乘法原理，第乙個點有k種染色方式，下乙個相鄰點(k-1)種染色方式，以此類推，結果是k·(k-1)^3
圖(G·e)，去掉的邊e的兩個端點縮成乙個圖
應用公式，得到
固定k，得到乙個數列的遞推公式
如果用高中方法求通項公式可以等式兩邊同時除以(-1)的n次冪，得到
從an，寫到a3
所有等式左右分別相加，可以得到
其中後面的是乙個等比數列求和，最後得到顏色多項式為
然後把k換回m，就是這個問題的解：
你的這個問題和下面這位同學的問題是乙個模型，可以看看他的解答。
歷史上有一道高考題也是這個模型
同樣可以按照顏色多項式計算出此圖的顏色多項式。
解答見我的另乙個回答:
劉最白：你遇到的最難的乙個數學題是什麼？
2樓：申強
相鄰的兩個扇形的可能性組成的鄰接矩陣是乙個m階矩陣，主對角線全是0，其餘全是1。
則顯然其特徵值為乙個m-1和m-1個-1。
題目求其n次冪的跡，即特徵值的n次冪和(m-1)^n+(m-1)(-1)^n。
3樓：法國球
設這個數量為 ，不妨設 。後面會解釋為什麼做這樣的假設。
考慮 與 不同色的情況，則把 去掉，把 和 粘在一起，此時剩餘 個扇形，也滿足相鄰不同色，故有 種方式。但是 的顏色有 種選取（不能與 或 相同），因此這種情況一共有 種。
再考慮 與 同色的情況，則把 去掉，把 和 融合成乙個扇形，此時剩餘 個扇形，也滿足相鄰不同色，故有 種方式。但是 的顏色有 種選取（不能與 與相同），因此這種情況一共有 種。注意！
這一步必須要求 。如果 ，則 與 相鄰，他們不可能同色，因此這個數字必須修改為 。
因此得到遞推公式
這裡不妨固定 ，把上式看成是關於 的遞推式。解特徵方程 得 ， ，因此通解是 。考慮到初值
由於遞推式是從 開始的，因此真正有用的初值是 和 。代入初值解得 ， ，因此最終解是
最後考慮一些特殊情況：
若 ， ，顯然 。
若 ，則 一定與 同色， 一定與 不同色。因此當 或 1" eeimg="1"/>是偶數時， 。若 1" eeimg="1"/>是奇數，則 。
若 ， 則 。也即 ，當 1" eeimg="1"/>時 。
綜上所述，
用css能實現乙個圓等分12份的樣子嗎？
大束 width 200px height 200px border radius 50 overflow hidden position relative background yellow margin 5em auto width 100px height 100px transform or...
乙個n面均勻骰子，求扔m次（m大於等於n）時，恰好每個面都出現過的概率
zero 所以總得事件數為，最後，我們回憶一下，首先我們要選乙個在第次才姍姍來遲的元素，所以要乘以再除以事件總數,得到 改寫一下 補上的項，就得到了和樓上一樣的公式 樸正歡 你的鏈結中二樓的公式是由生成函式獲得，但計算有問題，正確的步驟如下 記為扔次，個面全都出現過的概率 顯然在第次恰好個面都出現過...
怎樣證明乙個直徑為 n 的圓能覆蓋任何乙個周長為 2n 的三角形？
keghost 只說銳角三角形。設有銳角三角形ABC，A B C，對外置圓半徑為r的銳角三角形，其周長 l 2r sinA sinB sinC 2n，r n sinA sinB sinC 只要2r n，即可覆蓋，則需要f A，B，C sinA sinB sinC 2。對每乙個固定A，因銳角三角形，顯...