1樓：Zeta3
偏個題，總結一些常見計算極限的錯誤。
擺出四則運算鎮樓：
, ,則有如下性質
看似簡單的幾個四則運算卻隱含著很多需要深層挖掘的東西。
1.反過來可否適用？答案不行！
2.部分因子極限存在即可拆分
3.乘積形式可以等價，加減形式要判別各項因子極限。
4.計算極限時，必須整體同時進行，不能隨便亂代。
下面計算
Solution 1
來到題主所問的問題處，這裡由於該函式連續代入值極限存在！所以才能代入！
對於前半部分極限使用拉格朗日中值定理
其中 利用夾逼準則
即原極限為：
總結一些常見的在計算極限中的問題吧
1.一些隨意等價替換的問題
舉乙個很經典的例子：
這個解法是否有錯誤呢？答案是沒有！因為很多老師講過加減不能等價，那是怕學生們用錯，所以不讓學生們用。但現在筆者用四則運算的角度去理解。
再來看下面這個例子：
這個就是初學者常犯的錯誤，還是一樣從四則運算角度出發，先判斷拆開後極限是否存在
拆開之後各項因式是不存在的，所以既不能優先計算也不能等價替換。
正確解法為：
那麼筆者再給出乙個思考題
這樣得出的答案對嗎？
答案對，過程錯誤！因為拆分後各個部分極限均不存在，只是答案碰巧對了。
2.隨意代入值的問題
比如：
很容易出現以下錯誤解法：
很多初學者直接把 代入 中從而導致算出錯誤答案，這麼做為什麼出錯了？首先極限是乙個整體變化的過程，不能隨意先後計算。這裡還是從極限四則運算角度出發，加減要等價就得先拆開看各個因子極限是否存在。
將上述極限拆開
各個因子極限並不存在，既不能隨意帶入也不能等價替換。
正確解法為：
這一步有一定技巧，需要一定的估階能力，
這裡可以拆開因為滿足極限四則運算
類似的例子還有很多
等等，讀者可以手動計算上述極限。
3.隱含四則運算的乙個例子
來看乙個各大輔導書上面都有的乙個經典極限：
其中有如下錯誤做法：
該解法中運用了第二重要極限，但是犯了乙個經典的錯誤，這裡筆者從四則運算的角度去給大家展現此步出的錯誤。
將原極限進行恒等變換
如果對其使用了第二重要極限的公式，那麼該極限將變為
本質上是錯誤等價！！！！
正確解法為：
水平有限，其中有錯在所難免，望讀者海涵。
2樓：葡萄味的聖女果
極限數值帶入後可以當成乙個常數因子並且可以提出極限符號外的項都可以帶你自己畫的紅框帶入後並不能把它當做乙個常數項提出所以是錯的！！！
3樓：九Nidhogg
題主貼的解題步驟中，就是有意義就代入，沒意義的就暫緩代入，改到有意義後再代入。
紅色部分不能令x=a是因為除以0無定義。
所以就這道題而言，也可以化到最後統一代入，如下：
4樓：xx ddd
換成了「-」當然不可以，
根號裡面是要大於零的。而根據定義來看，左側極限的x實際上是把b換成a
也就是說x-a必然小於0了。
也就導致了這個函式在整個a的δ鄰域的左鄰域都是沒有定義的。
5樓：三川啦啦啦
其他大佬說得已經很好了，我也只是狗尾續貂了。
我總結幾句freesytle好了：
函式連續，直接代入
分母為零，必須要停
無窮比無窮，先要慫一慫
求導別怕，洛必可達
泰勒展開，玩得太嗨
等價換等價，問問分母她。
以上別牛 B，還得靠定義
必要不充分，還得問一問。
順便附上接下來等價無窮小替換問題。
關於等價無窮小使用條件問題？
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