就想問一下大神，有沒有什麼公式能夠求出大多數能夠求解的數列求和通向式？

1樓：Sunshower

但我們如何來證明它或說推導出它呢？

(注：以下推導並非嚴謹，僅為表達上的簡潔以及提供正文部分的思路)

我們不妨先簡單地（「簡單地」加粗）設它的公式為

…+xn+xn+xn+xn+xn+xn+…

我們的目的是類似當n變為n+1時，這個式子的值會增加(n+1)，或說n+2n+1

如果，公式包含四次項n，當n變為n+1時，式子的值增加4n+6n+4n+1。出現了三次項，這是我們不需要的

並且我們可以看到k(k∈N*)次項進行這樣的運算時，就會會出現新增的零次項到(k-1)次項

那麼為了彌補上面出現的三次項，公式中就要有五次項。但這樣又會新增四次項，就要有六次項來彌補，然後就沒完沒了了。。。

所以初步斷定：三次以上的項不需要

如果，公式包含三次項n，當n變為n+1時，式子的值增加3n+3n+1，出現了一次項，可以用二次項來彌補，但會增加2n+1。同樣，常數項可以用一次項彌補，因為會增加1（這個增加的1已經用來彌補之前增加的常數，所以沒有更多的增加量了）

現在式子的形式已經達到我們最初的目的：當n變為n+1時，這個式子的值會增加(n+1)，或說n+2n+1。那麼我們就不必再考慮其他項了，只用考慮三，二，一次項的係數，滿足

x(3n+3n+1)+x(2n+1)+x=n+2n+1

按照各次項對應關係解得：x=1/3,x=1/2,x=1/6

所以通項公式為

正文：我們假設有乙個萬能公式：

…+xn+xn+xn+xn+xn+xn+…

不過這次我們不再「簡單地」設，這次我們包含上對數運算，分數指數運算，等等（式中未表示出）

顯而易見，這個形式的式子可以表達任何多項式，於是我們將式子中每一項的係數當作未知數，只需要求解就行了

引文中我們解的是

x(3n+3n+1)+x(2n+1)+x=n+2n+1

即使我們不考慮這是唯一乙個求解方程，那麼也應有某一組解使其滿足多數的求和運算，這是很難的，甚至可以舉幾項特例證其是不可能的

更何況，絕大部分的求和都只能用乙個公式表示，也就是「萬能公式」的某次解只有唯一一組解，那麼就更不可能找出一組同時滿足這些解的解了

某種意義上來說，這樣的公式不存在

另外某種意義上來說，或許有乙個「無盡公式」，就像引文中需要彌補多餘項一樣，五補四，六補五，七補六，一直無盡得補，這樣得到某乙個「無盡公式」。若要滿足另外的求和，再繼續彌補，又得到新的「無盡公式」，就這樣窮舉所以求和運算，得到最後的「無盡公式」，那麼我們就可以稱其為「萬能無盡公式」

當然，這是不可能的，就算有，你也不可能真的能夠使用